Числовые характеристики ДСВ и их свойства.
Очень часто вместо закона распределения ДСВ приходиться использовать для описания случайной величины ее числовые характеристики, к которым относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание ДСВ называют сумму произведений ее возможных значений на их вероятности:
М(x)= + =
Вероятностный смысл математического ожидания заключается в том, что оно приближенно равно наиболее ожидаемому в результате испытания значению случайной величины.
Свойства математического ожидания
1.М (С)=С
2.М (СХ)=СМ (Х)
3.М ( =М ( … М(
4. М ( =М ( … М(
5. М ( )=М ( )
Математическое ожиданиебиномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
М (Х)=np.
Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией ДСВ называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X ) =
Для практических вычислений пользуются следующей формулой:
D(X) = ,где М(x)=
Свойства дисперсии.
1. D(C)=C
2. D(CX)= D(X)
3. D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)
4. D(X-Y)=D(X)+D(Y)
Пример 2. Случайные величины X и Y независимы. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3X-2Y,если известно, что М(Х)=0,3, М(Y)=-1,5 D(X)=5, D(Y)=6.
Решение.
М(Z)=M(3X-2Y)=M(3X)-M(2Y)=3M(X)-2M(Y)=3 ,3+2 (-1,5)=-2,1
D(Z)=D(3X-2Y)=D(3X)+D(2Y)=9D(X)+4D(Y)=9 5+4 6=69
|
|
Дисперсия биномиального закона распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления события в одном испытании:
D(X)=npq
Пример 3 .Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х-числа появления события А в 20 независимых испытаниях, если вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,78.
Решение. Случайная величина Х распределена биномиально.
n=20; p=0,78; q=1-p=1-0,78=0,22
М (Х)=np=20 0,78=15,6;
D(X)=npq=20 0,78 0,22=3,432
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения помимо дисперсии служит среднее квадратическое отклонение.
Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии:
Пример 4.Найти числовые характеристики ДСВ Х, заданной законом распределения:
Х | -5 | 2 | 3 | 4 |
Р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Решение.
М(Х)=-5
D(X)=M( )-
M( )= 15,3
D(X)= 15,3-
= =3,9.
Непрерывные случайные величины.
Для непрерывных случайных величин нельзя составить таблицы, в которых были бы перечислены все значения даже в небольшом интервале. Поэтому закон ее распределения должен определять вероятность попадания ее значений в некоторый отрезок. Для этого вводится функция распределения.
|
|
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х, т. е.
F(x)=Р(Х х)
Свойства функции распределения
1.Значения функции распределения принадлежит отрезку[0,1 :
0≤F(x) ≤1
2.Функция распределения есть неубывающая функция, т. е.:
F( )≥ F( ) , если .
3.Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат интервалу (а;b), то
F(x)=0 при x a
F(x)=1 при x
4.Функция распределения непрерывна слева.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 353; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!