Соединение элементов электрической цепи по схемам «звезда» и «треугольник»

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

В электротехнических и электронных устройствах элементы цепи соединяются по мостовой схеме (рис. 1.12). Сопротивления R12,R13,R24,R34 включены в плечи моста, в диагональ 1–4 включен источник питания с ЭДС Е, другая диагональ 3–4 называется измерительной диагональю моста.

Рис. 1.12

Рис. 1.13

В мостовой схеме сопротивления R13,R12,R23 и R24,R34,R23 соединены по схеме «треугольник». Эквивалентное сопротивление этой схемы можно определить только после замены одного из треугольников, например треугольника R24R34R23 звездой R2R3R4 (рис. 1.13). Такая замена будет эквивалентной, если она не вызовет изменения токов всех остальных элементов цепи. Для этого величины сопротивлений звезды должны рассчитываться по следующим соотношениям:

; ; .

Для замены схемы «звезда» эквивалентным треугольником необходимо рассчитать сопротивления треугольника:

; ; .

После проведенных преобразований (рис. 1.13) можно определить величину эквивалентного сопротивления мостовой схемы (рис. 1.12)

*) Мост Уитстона — электрическое устройство, механическим аналогом которого являются аптекарские рычажные весы. Условие балансировки R_x = R₂ R₃/R1. V_G –гальванометр.

1.5. Источник ЭДС и источник тока в электрических цепях

При расчете и анализе электрических цепей реальный источник электрической энергии с конечным значением величины внутреннего сопротивления r₀ заменяют расчетным эквивалентным источником ЭДС или источником тока.

Источник ЭДС (рис. 1.14) имеет внутреннее сопротивление r₀, равное внутреннему сопротивлению реального источника. Стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС.

Рис. 1.14 Рис. 1.15 Рис. 1.16

Для данной цепи запишем соотношение по второму закону Кирхгофа E = U + Ir₀или U = E – Ir₀_.

Зависимость напряжения U на зажимах реального источника от тока I называется его вольт-амперной или внешней характеристикой (рис. 1.15). Уменьшение напряжения источника U (батарейки) при увеличении тока нагрузки I объясняется падением напряжения на его внутреннем сопротивлении r₀.

У идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление r0<<Rн (приближенно r0≈0). В этом случае его вольт-амперная характеристика представляет собой прямую линию (рис. 1.16), следовательно, напряжение U на его зажимах постоянно (U=E) и не зависит от величины сопротивления нагрузки Rн.

В случае идеального источника напряжения, его внутреннее сопротивление равно 0 и напряжение на нагрузке не зависит от тока нагрузки – это источник бесконечной мощности, его ток нагрузки может возрастать до бесконечности, если сопротивление нагрузки будет стремиться к 0. Поэтому в реальных схемах последовательно с источником напряжения принято включать резистор, ограничивающий мощность источника питания.

Источник тока, заменяющий реальный источник электрической энергии, характеризуется неизменным по величине током I_КЗ, равным току короткого замыкания источника ЭДС

I_КЗ= E/r₀ , и внутренним сопротивление r₀ , включенным параллельно (рис. 1.17).

Рис. 1.17 Рис. 1.18 Рис.1.19.

Стрелка в кружке указывает положительное направление тока источника. Вольт-амперная (внешняя) характеристика I(U) источника тока определится соотношением I = I_КЗ − U/r0, представлена на рис. 1.18. Уменьшение тока нагрузки I_Н при увеличении напряжения U на зажимах ab источника тока, объясняется увеличением тока Ir₀ в цепи источника тока.

В идеальном источнике тока r0>>Rн. При изменении сопротивления нагрузки Rн потребителя

I _r₀ ≈ 0, а I ≈I н. Вольт-амперная характеристика I(U) идеального источника тока представляет прямую линию, проведенную параллельно оси абсцисс на уровне I=Iк=E/r0 (рис. 1.19).

В идеальном источнике тока внутреннее сопротивление равно бесконечности. При обрыве цепи нагрузки (R_н бескон.) на его зажимах будет напряжение бесконечной величины. Что бы этого не допустить, параллельно идеальному источнику тока включают резистор.

При сравнении внешних характеристик источника ЭДС (рис. 1.15) и источника тока (рис. 1.18) следует, что они одинаково реагируют на изменение величины сопротивления нагрузки. Каким из двух эквивалентных источников питания пользоваться, не играет существенной роли. Однако, на практике, особенно при расчете электротехнических устройств, чаще используется в качестве источника питания источник ЭДС с внутренним сопротивлением r₀ и величиной электродвижущей силы E.

Внимание! В импортных программах расчета электрических цепей источник напряжения обозначается как , батарейка , а источник тока . В источники напряжения и тока включены и постоянные и переменные составляющие напряжения (тока). Для избежания ошибок рекомендуется использовать в качестве источника постоянного напряжения батарейку .

Когда номинальное напряжение или номинальный ток и мощность источника электрической энергии оказываются недостаточными для питания потребителей, вместо одного используют несколько источников. Существуют два основных способа соединения источников питания: последовательное и параллельное.

Последовательное включение источников питания (источников ЭДС) создает напряжение требуемой величины, а рабочий ток в цепи меньше или равен номинальному току одного источника ЭДС (рис. 1.20).

Рис. 1.20 Рис.1.21

Для этой цепи на основании второго закона Кирхгофа можно записать

E₁ + E₂ + E₃ = I(r₀₁ + r₀₂ + r₀₃ + Rн), откуда .

Электрическая цепь на рис. 1.20 может быть заменена цепью с эквивалентным источником питания (рис. 1.21), имеющим ЭДС Eэ и внутреннее сопротивление r_Э. Эквивалентным источником ЭДС в схеме замещения будет сумма исходных ЭДС (с учетом направления) с внутренним сопротивлением равным сумме внутренних сопротивлений исходных источников.

Характерным для параллельного соединения (Рис.1.22) является одно и то же напряжение U на выводах всех источников. Для электрической цепи на рис. 1.22 можно записать следующие уравнения: I = I₁+ I₂+ I₃; P = P₁+ P₂+ P₃= UI₁+ UI₂+ UI₃= UI.

Рис. 1.22

При параллельном соединении источников ток и мощность внешней цепи равны соответственно сумме токов и мощностей источников, но напряжение будет равно минимальному. На параллельную работу включают обычно источники с одинаковыми ЭДС, мощностями и внутренними сопротивлениями.

Параллельное включение электрохимических источников питания не рекомендуется, поскольку при разном напряжении возникнет ток перетекания, который существует даже при отключении нагрузки, пока напряжения не сравняются. Токи эти весьма велики, поскольку внутренние сопротивления источников малы. Когда лучший элемент разряжается на худший – это потеря емкости батареи.

1.6. Режимы работы электрической цепи

Реальная электрическая цепь может быть представлена в виде активного и пассивного двухполюсников (рис. 1.23).Двухполюсникомназывают цепь, которая соединяется с внешней относительно нее частью цепи через два вывода - а и b – полюса. Активный двухполюсник содержит источники электрической энергии, а пассивный двухполюсник их не содержит.

Рис. 1.23 Рис.1.24 Рис. 1.25

Схема замещения активного двухполюсника А представляется эквивалентным источником с ЭДС Eэ и внутренним сопротивлением r_0э. Нагрузкой для него является входное сопротивление пассивного двухполюсника П Rвх = Rн. Нагрузка изменяется при подключении различного количества потребителей или изменения их параметров.

Режим работы электрической цепи (рис. 1.23) определяется величиной сопротивления нагрузки Rн. При анализе электрической цепи рассматривают следующие режимы работы: холостого хода, номинальный, короткого замыкания и согласованный.

Работа активного двухполюсника под нагрузкой Rн определяется его вольт-амперной (ВАХ) характеристикой, уравнение которой для данной цепи запишется в виде U = E_Э−Ir_0э.

Эта вольт-амперная характеристика строится по двум точкам 1 и 2 (рис. 1.24), соответствующим режимам холостого хода и короткого замыкания.

ВАХ диода представляет собой зависимость тока диода от приложенного напряжения (рис. 1.25).

1. Режим холостого хода

В этом режиме с помощью ключа SA нагрузка Rн отключается от источника питания (рис. 1.23). В этом случае ток в нагрузке становится равным нулю, и как следует из соотношения (1.12) напряжение на зажимах ab становится равным ЭДС Eэ и называется напряжением холостого хода Uхх U=Uхх=Eэ – т.1 рис.1.24 или т. В на рис. 1.25.

2. Режим короткого замыкания

В этом режиме ключ SA в схеме электрической цепи (рис. 1.23) замкнут, а сопротивление Rн=0. В этом случае напряжение U на зажимах аb становится равным нулю, т.к. U=IRн, а уравнение (1.12) вольт-амперной характеристики можно записать в виде I = I_кз = E/r_0э. Значение тока короткого замыкания Iк.з соответствует т.2 на вольт-амперной характеристике (рис. 1.24).

Анализ этих двух режимов показывает, что при расчете электрических цепей параметры активного двухполюсника Eэ и r0э могут быть определены по результатам режимов холостого хода и короткого замыкания: E_Э=Uхх; r_0э = U_хх/ I_кз. При изменении тока в пределах активной двухполюсник (эквивалентный источник) отдает энергию во внешнюю цепь (участок I вольт-амперной характеристики на рис. 1.24).

3. Номинальный режим обеспечивает технические параметры как отдельных элементов, так и всей цепи, указанные в технической документации, в справочной литературе или на самом элементе. Для разных электротехнических устройств указывают разные номинальные параметры. Однако три основных параметра указываются практически всегда: номинальное напряжение Uном, номинальная мощность Pном и номинальный ток Iном. Работа активного двухполюсника под нагрузкой в номинальном режиме определяется уравнением (1.12), записанном для номинальных параметров U_ном=E_э−I_ном r_0э. На вольт-амперной характеристике (рис. 1.24) это уравнение определяется точкой 3 с параметрами Uном и Iном.

4. Согласованный режим обеспечивает максимальную передачу активной мощности от источника питания к потребителю. Значение сопротивления нагрузки, согласованное с сопротивлением источника Rн=r_0э.

Определим параметры электрической цепи (рис. 1.23), обеспечивающие получение согласованного режима. При подключении нагрузки Rн к активному двухполюснику (рис. 1.23) в ней возникает ток

. При этом на нагрузке выделится активная мощность

Определим соотношение между сопротивлением нагрузки Rн и внутренним сопротивлением r0э эквивалентного источника ЭДС, при котором в сопротивлении нагрузки Rн выделяется максимальная мощность при неизменных значениях Eэ и r0э. С этой целью определим первую производную P по Rн и приравняем ее к нулю:

Можно найти вторую производную и убедиться в том, что она отрицательна , поэтому соотношение соответствует максимуму функции P=F(Rн).

Коэффициент полезного действия , если Rн=r₀э, то .

Для мощных электротехнических устройств такое низкое значение КПД недопустимо. Но в электронных устройствах и схемах, где величина P измеряется в милливаттах, с низким КПД можно не считаться, поскольку в этом режиме обеспечивается максимальная передача мощности на нагрузку.

1.7. Расчет электрических цепей с использованием законов Ома и Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев известны параметры источников ЭДС или напряжения, сопротивления элементов электрической цепи, и задача сводится к определению токов в ветвях цепи. Зная токи, можно найти напряжения на элементах цепи, мощность, потребляемую отдельными элементами и всей цепью в целом, мощность источников питания и др.

В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой приведена на рис. 1.26

Рис.1.26

Напряжение источника V2 делится между сопротивлением R1 и диодом D1 (з-н Кирхгофа): V2 = V_R₁ + V_D₁.

Определим значение сопротивления R1, обеспечивающего прямой ток диода 100 мА. В приведенной схеме ток через резистор и диод одинаков, напряжение на резисторе есть разность напряжения на источнике минус напряжение на диоде:

V_R₁ = V2 – V_D₁ ;

R₁ = (V2 – V_D₁)/ I_D₁ (з-н Ома).

Напряжение на кремниевом диоде примем примерно 0.75 В (диод открыт). Подставляем, получаем R₁= (5 – 0,75)/100E-3 = 42,5 Ом.

Схема цепи (рис.1.27) содержит 6 ветвей (m=6) и 4 узла: a, b, c, d (n=4). По каждой ветви проходит свой ток, следовательно, число неизвестных токов равно числу ветвей, и для определения токов необходимо составить m уравнений. При этом по первому закону Кирхгофа (1.3) составляют уравнения для (n–1) узлов. Недостающие m–(n–1) уравнения получают по второму закону Кирхгофа (1.4), составляя их для m–(n–1) взаимно независимых контуров. Рекомендуется выполнять операции расчета в определенной последовательности.

Рис. 1.27

1. Обозначение токов во всех ветвях. Направление токов выбираем произвольно, но в цепях с источниками ЭДС рекомендеются, чтобы направление токов совпадало с направлением ЭДС.

2. Составление уравнений по первому закону Кирхгофа. Выбираем 4–1=3 узла (a, b, c) и для них записываем уравнения:

узел a: I1−I2−I3=0;

узел b: I2−I4+I5=0;

узел c: I4−I5+I6=0.

3. Составление уравнений по второму закону Кирхгофа. Необходимо составить 6–3=3 уравнения. В схеме на рис. 1.26 выбираем контура I, II, III и для них записываем уравнения:

контур I: E1=I1(r01+R1)+I3R3;

контур II: 0=I2R2+I4R4+I6R7−I3R3;

контур III: −E2=−I5(r02+R5+R6)−I4R4.

4. Решение полученной системы уравнений и анализ результатов. Полученная система из шести уравнений решается известными математическими методами. Если в результате расчетов численное значение тока получено со знаком «минус», это означает, что реальное направление тока данной ветви противоположно принятому в начале расчета. Если в ветвях с ЭДС токи совпадают по направлению с ЭДС, то данные элементы работают в режиме источников, отдавая энергию в схему. В тех ветвях, где направления тока и ЭДС не совпадают, источники ЭДС работает в режиме потребителя.

5. Проверка правильности расчетов. Для проверки правильности произведенных расчетов можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы уравнений:

узел d: I3+I6−I1=0

внешний контур схемы: E1−E2=I1(r01+R1)+I2R2−I5(r02+R5+R6)+I6R7.

Независимой проверкой является составление уравнения баланса мощностей (1.8) с учетом режимов работы элементов схемы с ЭДС:

Если активная мощность, поставляемая источниками питания, равна по величине активной мощности, израсходованной в пассивных элементах электрической цепи, то правильность расчетов подтверждена.

1.8. Основные методы расчета сложных электрических цепей

С помощью законов Ома и Кирхгофа в принципе можно рассчитать электрические цепи любой сложности. Однако решение в этом случае может оказаться слишком громоздким и потребует больших затрат времени. По этой причине для расчета сложных электрических цепей на основе законов Ома и Кирхгофа разработаны более рациональные методы, например, метод узлового напряжения и метод эквивалентного генератора.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 1169; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!