Метод приведения обобщенной задачи

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 13Следующая ⇒

К стандартной

Одним из распространенных методов решения обобщенной задачи на собственные значения

Ах=lВх (4.46)

является сведения её к эквивалентной стандартной форме с помощью разложения Халецкого матрицы

B=LL^T ,

где L – нижняя треугольная матрица.

Если известно разложение Халецкого матрицы В , то уравнение (4.46) примет вид:

Ах=lLL^Tх ,

L^-1Ах=lL^Tх . (4.47)

Делаем замену переменных:

у=L^Tх или х=L^-Ту .

Тогда (4.47) запишется в виде:

L^-1АL^-Ту=lу ,

при =L^-1АL^-Т ,

y=lу . (4.48)

Таким образом, исходная задача (4.46) при A=A^T и В=В^Т>0 заменяется эквивалентной стандартной задачей на собственные значения (4.48) с симметричной матрицей . Для полученной задачи (4.48) можно применить один из описанных выше методов.

Заметим, что более быстрым способом получения задачи с одной матрицей был бы переход к уравнению

В^-1Ах=lх ,

но матрица В^-1А несимметричная, что делает задачу более сложной по сравнению с задачей на собственные значения с симметричной матрицей.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Каждое задание состоит из 10 вариантов, и выполняются с применением конкретного численного метода, указанного вначале задания. При выполнении задания необходимо использовать один из языков программирования высокого уровня.

Цель лабораторных работ:

1. Усовершенствование навыков программирования;

2. Практическое усвоение численных методов линейной алгебры.

ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 2

Задание № 2.1

Здесь даны 10 вариантов задания, в которых СЛАУ надо решить классическим методом Гаусса:

1) 2х₁+2х₂- х₃+ х₄=4, 2) 2х₁+3х₂+11х₃+5х₄=2,

4х₁+3х₂- х₃+2х₄=6, х₁+ х₂+ 5х₃+2х₄=1,

8х₁+5х₂-3х₃+4х₄=12, 2х₁+ х₂+ 3х₃+2х₄=-3,

3х₁+3х₂-2х₃+2х₄=6. х₁+ х₂+ 3х₃+4х₄=-3.

Ответ: х₁=х₂=1, Ответ: х₁=-2, х₂=0,

х₃=х₄=-1. х₃=1, х₄=-1.

3) 2х₁+ 5х₂+4х₃+ х₄=20, 4) 3х₁+4х₂+ х₃+2х₄=-3,

х₁+ 3х₂+2х₃+ х₄=11, 3х₁+5х₂+3х₃+5х₄=-6,

2х₁+10х₂+9х₃+7х₄=40, 6х₁+8х₂+ х₃+5х₄=-8,

3х₁+ 8х₂+9х₃+2х₄=37. 3х₁+5х₂+3х₃+7х₄=-8.

Ответ: х₁=1, х₂=2, Ответ: х₁=2, х₂=-2,

х₃=2, х₄=0. х₃=1, х₄=-1.

5) 7х₁+9х₂+4х₃+2х₄=2, 6) 3х₁-2х₂-5х₃+ х₄=3,

2х₁-2х₂+ х₃+ х₄=6, 2х₁-3х₂+х₃+5х₄=-3,

5х₁+6х₂+3х₃+2х₄=3, х₁+2х₂- 4х₄=-3,

2х₁+3х₂+ х₃+ х₄=0. х₁- х₂-4х₃+9х₄=22.

Ответ: х₁=-0.4, х₂=-1.2, Ответ: х₁=-1, х₂=3,

х₃=3.4, х₄=1. х₃=-2, х₄=2.

7) 4х₁-3х₂+ х₃+5х₄=7, 8) 2х₁-2х₂ + х₄=-3,

х₁-2х₂- 2х₃-3х₄=3, 2х₁+3х₂+х₃-3х₄=-6,

3х₁- х₂+ 2х₃ =-1, 3х₁+4х₂-х₃+2х₄=0,

2х₁+3х₂+2х₃-8х₄=-7. х₁+3х₂+х₃ - х₄=2.

Ответ: х₁=2, х₂=1, Ответ: х₁=-2, х₂=1,

х₃=-3, х₄=1. х₃=4, х₄=3.

9) х₁+ х₂- 6х₃- 4х₄=6, 10) 2х₁-3х₂+3х₃+2х₄=3,

3х₁- х₂-6х₃- 4х₄=2, 6х₁+9х₂-2х₃- х₄=-4,

2х₁+3х₂+9х₃+2х₄=6, 10х₁+3х₂-3х₃- 2х₄=3,

3х₁+2х₂+3х₃+8х₄=-7. 8х₁+6х₂+ х₃+3х₄=-7.

Ответ: х₁=0, х₂=2, Ответ: х₁=1/2, х₂=-2/3,

х₃=1/3, х₄=-3/2. х₃=2, х₄=-3.

Задание № 2.2

Ниже приводятся варианты для численного вычисления определителя матрицы:

1) 2)

Ответ: -9. Ответ: 18.

3) 4)

Ответ: 18. Ответ: 4.

5) 6)

Ответ: 90. Ответ: 27.

7) 8)

Ответ: 17. Ответ: -6.

9) 10)

Ответ: -10. Ответ: 100.

Задание № 2.3

Используя численные методы вычислить обратные матрицы:

1) А= , А^-1= .

2) А= , А^-1= .

3) А= , А^-1= .

4) А= , А^-1= .

5) А= , А^-1= .

6) А= , А^-1= .

7) А= , А^-1= .

8) А= , А^-1= .

9) А= , А^-1= .

10) А= , А^-1= .

Задание № 2.4

Решить СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента:

1) А= , b= .

2) А= , b= .

3) А= , b= .

4) А= , b= .

5) А= , b= .

6) А= , b= .

7) А= , b= .

8) А= , b= .

9) А= , b= .

10) А= , b= .

Задание № 2.5

Приведенные варианты решить методом Халецкого:

1) 3х₁+х₂- х₃+2х₄=6, 2) 2х₁-4х₂-3.25х₃+ х₄=4.84,

-5х₁+х₂+3х₃-4х₄=-12, 3х₁-3х₂- 4.3х₃+8х₄=8.89,

2х₁+х₃- х₄=1, х₁-5х₂+3.3х₃-20х₄=-14.01,

х₁-5х₂+3х₃-3х₄=3. 2.5х₁-4х₂+ 2х₃- 3х₄=-20.29.

Ответ: х₁=1, х₂=-1, Ответ: х₁=2.34, х₂=4.51,

х₃=2, х₄=3. х₃=-6, х₄=-1.3.

3) 2х₁- х₂-6х₃+3х₄=-1, 4) 2х₁+ х₂+4х₃+8х₄=-1,

7х₁-4х₂+2х₃-15х₄=-32, х₁+3х₂-6х₃+2х₄=3,

х₁- 2х₂-4х₃+ 9х₄=5, 3х₁-2х₂+2х₃-2х₄=8,

х₁- х₂+2х₃- 6х₄=-8. 2х₁- х₂+ 2х₃ =4.

Ответ: х₁=-3, х₂=0, Ответ: х₁=2, х₂=-3,

х₃=-0.5, х₄=2/3. х₃=-1.5, х₄=0.5.

5) 2х₁-5х₂+3х₃+х₄=5, 6) х₁+ 2х₂+ 5х₃+ 9х₄=79,

3х₁-7х₂+3х₃- х₄=-1, 3х₁+13х₂+18х₃+30х₄=263,

5х₁-9x₂+6х₃+2х₄=7, 2х₁+ 4х₂+11х₃+16х₄=146,

4х₁-6х₂+3х₃+ х₄=8. х₁+ 9х₂+ 9х₃+ 9х₄=92.

Ответ: Система решений Ответ: х₁= , х₂= ,

не имеет. х₃=-10, х₄=1.

7) 2х₁+7х₂+3х₃+х₄=5, 8) 3х₁+х₂- х₃+2х₄=6,

х₁+3х₂+5х₃-2х₄=3, -5х₁+х₂+3х₃-4х₄=-12,

х₁+5х₂-9х₃+8х₄=1, 2х₁ + х₃- х₄=1,

5х₁+18х₂+4х₃+5х₄=12. х₁-5х₂+3х₃-3х₄=3.

Ответ: Система не определена, Ответ: х₁=1, х₂=-1,

т.е. имеет бесконечно много х₃₌2, х₄=3.

решений.

9) 2х₁-4х₂-3.25х₃+х₄=4.84, 10) 2х₁-х₂+4х₃-3х₄+х₅=11,

3х₁-3х₂- 4.3х₃+8х₄=8.89, -х₁+х₂+2х₃+ х₄+3х₅=14,

х₁-5х₂+3.3х₃-20х₄=-14.01, 4х₁+2х₂+3х₃+3х₄-х₅=4,

2.5х₁-4х₂+ 2х₃- 3х₄=-20.29. -3х₁+х₂+3х₃+2х₄+4х₅=16,

Ответ: х₁=2.34, х₂=4.51, х₁+3х₂- х₃+4х₄+4х₅=18.

х₃=-6, х₄=-1.3. Ответ: х₁=1, х₂=2, х₃=1,

х₄=-1, х₅=4.

Задание № 2.6

Приведенные здесь варианты решить методом квадратных корней:

1) А= , b= .

2) А= , b= .

3) А= , b= .

4) А= , b= .

5) А= , b= .

6) А= , b= .

Ответ: х₁=0.4, х₂=0.5, х₃=0.6, х₄=0.5.

7) А= , b= .

Ответ: х₁=1.04625, х₂=0.56278, х₃=0.11100, х₄=-0.22812.

8) А= , b= .

Ответ: х₁=-7, х₂=-2, х₃=-1, х₄=-4, х₅=9.

9) А= , b= .

Ответ: х₁=-6, х₂=-5, х₃=-8, х₄=5, х₅=-7.

10) А= , b= .

Ответ: х₁=-7, х₂=-2, х₃=-1, х₄=-4, х₅=9.

Задание № 2.7

Приведенные варианты СЛАУ решить методом прогонки:

1) А= , b= . 2) А= , b= .

Ответ: х₁=0, х₂=0.66667, Ответ: х₁=1, х₂=1,

х₃=1.33333, х₄=2. х₃=1, х₄=1.

3) А= ,

b= , Ответ: х= .

4) А= , b= . 5) А= , b= .

Ответ: х₁=2, х₂=2, Ответ: х₁=1.6, х₂=-0.6,

х₃=2, х₄=2. х₃=-0.8, х₄=1.

6) А= , b= . 7) А= , b= .

Ответ: х₁=-6, х₂=-4, Ответ: х₁=-1, х₂=-3,

х₃=-1, х₄=2. х₃=-5, х₄=-7.

8) А= , b= . 9) А= , b= .

Ответ: х₁=5, х₂=3, Ответ: х₁=-0.2222, х₂=1.8889,

х₃=-8, х₄=-18. х₃=1.4444, х₄=2.

10) А= , b= . Ответ: х= .

ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 3

Задание № 3.1

Нижеприведенные варианты СЛАУ решить методом простой итерации и методом Зейделя:

1) А= , b= . Ответ: x= .

2) А= , b= . Ответ: х= .

3) А= , b= . Ответ: х= .

4) А= , b= . Ответ: х= .

5) А= , b= . Ответ: х= .

6) А= , b= . Ответ: х= .

7) А= , b= . Ответ: х= .

8) А= , b= . Ответ: х= .

9) А= , b= . Ответ: х= .

10) А= , b= . Ответ: х= .

Задание № 3.2

Приведенные здесь варианты СЛАУ решить методом релаксации:

1) 2х₁+3х₂+20х₃- х₄=-10, 2) х₁- 5х₂+6х₃+13х₄=15,

3х₁+2х₂+ х₃+20х₄=15, х₁+10х₂- х₃+ 2х₄=10,

10х₁- х₂+ 2х₃- 3х₄=1, 3х₁+ 4х₂-15х₃- 8х₄=8,

х₁+10х₂- х₃+ 2х₄=5. 15х₁- 2х₂+ 3х₃- 6х₄=5.

Ответ: х₁=0.3111, х₂=0.3722, Ответ: х₁=1.0602, х₂=0.4256,

х₃=-0.5772, х₄=0.195. х₃=-1.1501, х₄=1.7668.

3) 3х₁+7х₂- 8х₃- 19х₄=8, 4) 6х₁- 9х₂+ х₃-17х₄=8,

5х₁- 8х₂+15х₃-1.5х₄=7, х₁+ 7х₂-11х₃-2.5х₄=15,

2х₁+ 6х₂-2.5х₃- х₄=10, -5х₁+10х₂+3х₃-1.5х₄=12,

7х₁+2х₂- 3х₃+1.5х₄=6. 9х₁- 3х₂- 4х₃+1.5х₄=10.

Ответ: х₁=0.8465, х₂=1.8536, Ответ: х₁=2.0438, х₂=2.0159,

х₃=1.1637, х₄=-0.0944. х₃=0.2868, х₄=-0.7996.

5) -х₁+4х₂+ 7х₃+13х₄=7, 6) -5х₁+ х₂- 6х₃-13х₄=10,

-6х₁+3х₂-11х₃-1.5х₄=11, 3х₁+4х₂-12х₃+4х₄=11,

3х₁+7х₂- 2х₃+ х₄=8, -2х₁-15х₂+7х₃- 4х₄=9,

5х₁- х₂+ 3х₃+0.5х₄=5. 11х₁+ 5х₂-3х₃+2.5х₄=13.

Ответ: х₁=2.2550, х₂=-1.0038, Ответ: х₁=1.5732, х₂=-1.1289,

х₃=-2.8524, х₄=2.5567. х₃=-1.2018, х₄=-0.9065.

7) х₁-7х₂+ 3х₃- 12х₄=5, 8) 3х₁+ 2х₂- 7х₃-14х₄=12,

-5х₁-3х₂+15х₃+ 6х₄=10, -4х₁- х₂+10х₃+4х₄=10,

-2х₁+8х₂+ 3х₃- 2х₄=9, 5х₁-16х₂+ 4х₃- 5х₄=15,

7х₁- х₂+ 5х₃+0.5х₄=7. 11х₁- 6х₂+ 3х₃- х₄=9.

Ответ: х₁=0.3366, х₂=0.6671, Ответ: х₁=0.2387, х₂=0.1065,

х₃=1.1122, х₄=-0.4997. х₃=1.7780, х₄=-1.6798.

9) 5х₁-6х₂+ х₃+14х₄=10, 10) х₁- 8х₂+5х₃-15х₄=11,

-3х₁+7х₂-13х₃+ 2х₄=8, -х₁+ 7х₂+12х₃- 2х₄=9,

х₁-10х₂+ 6х₃- 2х₄=9, 3х₁-11х₂+ 4х₃- 3х₄=10,

9х₁+5х₂- 3х₃+ х₄=7. 13х₁+ 6х₂- 5х₃+1.5х₄=12.

Ответ: х₁=1.2105, х₂=-1.8826, Ответ: х₁=1.363, х₂=-0.1370,

х₃=-1.9676, х₄=-0.3843. х₃=0.8985, х₄=-0.2699.

ЗАДАНИЯ К ГЛАВЕ 4

Тестовые примеры

Здесь приведены 10 примеров, которые могут быть использованы при предварительной отладке программ, составленных с применением различных численных методов решения задач на собственные значения.

1) Найти все собственные значения на основе классического метода Якоби:

А= . Ответ:

2) Найти все собственные значения на основе барьерного метода Якоби:

А= . Ответ:

3) Найти все собственные значения с применением экономической стратегии выбора аннулируемого элемента:

А= . Ответ:

4) Найти все собственные значения и соответствующие им собственные вектора методом итерации:

А= . Ответ: х₁= , х₂= , х₃= ,

где с₁, с₂, с₃ – произвольные постоянные, отличные от нуля.

5) Найти максимальное по модулю собственное значение с применением степенного метода:

А= . Ответ: l_max=2.3227488.

6) Найти минимальное по модулю собственное значение с применением обратного степенного метода:

А= . Ответ: l_min=-1.096595.

7) Найти минимальное по модулю собственное значение с применением обратного степенного метода со сдвигом:

А= .

Ответ: l_min=0.24226071.

8) Найти все собственные значения с применением

QL – алгоритма:

А= .

Ответ: l₁=-17.86303, l₂=-17.15266, l₃=-7.57404, l₄=-5.2987.

9) Найти все собственные значения с применением

QR – алгоритма:

А= .

Ответ: l₁=1, l₂=2/3, l₃=4/9, l₄=1/3.

10) Решить обобщенную задачу на собственные значения:

А= , В= .

Ответ:

l_к	Ах=lВх	Вх=lАх
1	0.4327872	0.6700826
2	0.6636627	0.90148196
3	0.9438590	1.0594803
4	1.1092845	1.5067894
5	1.4923532	2.3106043

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 111213 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!