Глава 1. Погрешности приближенных вычислений
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Ширапов Д.Ш. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ (учебное пособие) Улан-Удэ 2002 Учебное пособие предназначено для студентов специальностей: «202600 – радиоэлектронные системы, 220100 – вычислительные машины, комплексы, системы и сети, 220400 – программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем, 351500 – математическое обеспечение и администрирование информационных систем» по дисциплине «Вычислительная математика» одним из разделов, которой являются вычислительные методы линейной алгебры. Учебное пособие содержит кроме теории методов решения систем линейных алгебраических уравнений и задач на собственные значения и алгоритмы этих методов, также задания для лабораторных работ, которые должны выполняться на компьютере. Рецензенты: Профессор кафедра «Математической статистики и теории вероятностей» Иркутского государственного университета, доктор физико-математических наук, профессор Сенаторов В.Н. Доцент кафедры «Информатики» Бурятского государственного университета, кандидат физико-математических наук, доцент Дармаев Т.Г. Содержание Введение ……………………………………………………… Глава 1. Погрешности приближенных вычислений и основные теоремы ………………………………………... 1.1. Погрешности приближенных вычислений ……….. 1.2. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений …………………………………….. 1.3. Основные теоремы …………………………………. Глава 2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений ………………………………. 2.1. Метод Гаусса ……………………………………….. 2.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента ……. 2.3. Алгоритм вычисления определителя матрицы …. 2.4. Алгоритм вычисления обратной матрицы ………. 2.5. Метод Халецкого ………………………………….. 2.6. Метод квадратных корней ………………………... 2.7. Метод прогонки …………………………………… Глава 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений ……………………….. 3.1. Метод простой итерации …………………………. 3.1.1. О сходимости итерационных процессов для систем линейных уравнений …………………. 3.1.2. Оценки погрешности метода итерации……… 3.2. Метод Зейделя …………………………………….. 3.3. Метод релаксации ………………………………… 3.4. Каноническая форма двухслойных итерационных методов ……………………………………………. 3.4.1. Каноническая форма метода итерации……... 3.4.2. Каноническая форма метода Зейделя ………. 3.4.3. Теоремы двухслойных итерационных методов ……………………………………….. 3.5. Вариационно-итерационные методы …………… 3.5.1. Метод минимальных невязок ………………. 3.5.2. Метод скорейшего спуска ………………….. Глава 4. Методы решения задач на собственные значения и собственные вектора……………………………… 4.1. Устойчивость задачи на собственные значения … 4.2. Метод вращения Якоби …………………………... 4.2.1. Различные варианты метода Якоби …………. 4.3. Степенной метод ………………………………….. 4.4. Обратный степенной метод ………………………. 4.5. Итерационный метод ……………………………... 4.6. Методы для матриц, не принадлежащих к специальному классу ……………………………………. 4.6.1. QL – алгоритм ………………………………... 4.6.2. QR – алгоритм ………………………………... 4.7. Обобщенная задача на собственные значения ….. 4.7.1. Обобщенный метод Якоби …………………... 4.7.2. Метод приведения обобщенной задачи к стандартной ………………………………………… Приложение …………………………………………………. Задания для лабораторных работ ………………………….. Задания к главе 2 ……………………………………………. Задания к главе 3 ……………………………………………. Задания к главе 4 ……………………………………………. Литература …………………………………………………... Введение В настоящее время вычислительная математика ориентирована, прежде всего, на использование современных вычислительных систем и компьютеров. Любые практические задачи начинаются, как правило, с разработки математических моделей. Главной задачей данного учебного пособия является изложение теорий и алгоритмов вычислительных методов решения основных задач линейной алгебры, в рамках требований предъявляемым государственными стандартами к дисциплине «Вычислительная математика», предназначенной для студентов инженерных специальностей высших учебных заведений. Как известно, основными задачами линейной алгебры являются: решение систем линейных алгебраических уравнений, решение полной и частичной проблем собственных значений. Поэтому темы, рассмотренные в учебном пособии условно можно разделить на две части: численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений и численные методы решения задач на собственные значения. Изложение и описание численных методов построены с ориентацией на широкое использование студентами компьютеров. В целом учебное пособие состоит из введения, четырех глав, приложения и из списка литературы. В введении, сжато, изложены основное назначение и краткое содержание учебного пособия по главам. В первой главе рассмотрены погрешности приближенных вычислений и даны основные теоремы, на которые опираются те или иные методы. Во второй главе изложены прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В третьей главе рассматриваются итерационные методы решения СЛАУ. В четвертой главе описаны численные методы решения задач на собственные значения. В приложении приводятся задания для лабораторных работ, рассчитанные для выполнения тем или иным методом на компьютере. При подготовке учебного пособия использовалась литература, список которого приведен в конце. Так как методы, приведенные в учебном пособии описаны много раз, в различных вариантах и изложены в разных изданиях. Поэтому точно, установить авторство многих методов, почти, невозможно. Вследствие этого некоторые издания из этого списка литературы приведены без ссылки, но они могут быть рекомендованы студентам, в качестве учебной литературы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 1. Погрешности приближенных вычислений
И основные теоремы
На практике очень редко приходится иметь дело с точными числами. Обычно результаты измерений всегда являются приближенными, прежде всего вследствие ограниченной точности измерительных приборов. Действительно, каждый измерительный прибор имеет шкалу, на которой промежутки деления не могут быть как угодно малыми. Следовательно, на практике имеем дело с приближенными числами, содержащими ошибки любого происхождения.
Поэтому в главе кратко рассматривается круг вопросов, связанных с погрешности приближенных вычислений и даются основные теоремы, используемые при разработке численных методов решения задач линейной алгебры.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 189; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!