Тема 3. Произведение векторов
10. Скалярное произведение векторов
К линейным операциям над векторами относятся сложение векторов и умножение вектора на число. Скалярное произведение не относится к линейным операциям.
Определение. Скалярным произведением двух векторов и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
. (1)
«Скаляр» (лат.) – число.
Скалярное произведение обозначают еще .
Свойства скалярного произведения:
1) – коммутативность;
2)
;
3)
; свойства линейности.
4) , откуда
;
5) , следовательно,
;
6) Пусть . Вектор
перпендикулярен вектору
тогда и только тогда, когда
.
Свойства 1, 3 – 5 следуют из определения.
Докажем свойство 6.
I.Необходимость.
Допустим . Тогда
.
II.Достаточность.
Пусть
.
Из формулы (1), которая определяет скалярное произведение можно найти угол между векторами. Пусть . Тогда
. (2)
Далее находим через
.
Получим формулы скалярного произведения в координатной форме. Допустим, что заданы два вектора
.
Это означает, что в системе координат они имеют разложения:
, (3)
|
|
. (4)
Перемножим равенства (3) и (4) скалярно, пользуясь свойствами 1) – 4) скалярного произведения. Получим
Получили формулу вычисления скалярного произведения векторов в координатной форме
. (5)
Используя формулу (5) запишем формулу (2) в координатной форме
.
20. Векторное произведение
В результате векторного произведения получаем вектор.
Определение 1. Векторным произведением векторов и
называется вектор, обозначаемый
или
и удовлетворяющий следующим трем условиям:
1) ; (1)
2) и
;
3) векторы образуют правую тройку векторов
Правая часть равенства (1) геометрически задает площадь параллелограмма, построенного на векторах ,
. Значит модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах
,
.
Свойства векторного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
;
4) два ненулевых вектора ,
коллинеарны тогда и только тогда, когда
|
|
.
Доказательство следует из определения 1.
Допустим векторы ,
заданы в координатной форме:
.
Можно доказать формулу вычисления векторного произведения в координатной форме:
. (2)
В правой части равенства (2) – определитель. Раскладывая его по первой строке, получим координаты вектора, равного векторному произведению.
30. Смешанное произведение векторов
В результате находжения смешанного произведения получаем число.
Определение. Смешанным произведением векторов ,
,
называется скалярное произведение вектора
и вектора
:
. (1)
Фактически смешанное произведение – результат двух операций: векторного произведения и скалярного произведения.
Геометрические свойства смешанного произведения:
1) ,
где объем параллелепипеда, построенного на векторах
,
,
;
2) векторы ,
,
образуют правую тройку вектором тогда и только тогда, когда
; левую – когда
;
3) Условие компланарности векторов. векторы ,
,
компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е.
.
|
|
Алгебраические свойства смешанного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
Пусть векторы ,
,
заданы своими координатами
.
Тогда смешанное произведение в координатной форме вычисляется с помощью определителя:
.
Тогда условие компланарности векторов ,
,
можно переписать в виде
.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 216; Мы поможем в написании вашей работы! |
![](/my/edugr4.jpg)
Мы поможем в написании ваших работ!