Тема 2. Системы координат. Действия над векторами
В координатной форме
10. Декартова система координат
Введение базиса в пространстве позволяет перейти от геометрических соотношений между векторами к соотношениям между их координатами. Однако базисов бесконечно много. Кроме этого, бесконечно много точек, в которых мы можем совместить начала векторов. Поэтому вводят понятие системы координат.
Определение. Система координат – совокупность фиксированной точки, называемой началом координат, и фиксированного базиса.
Чаще всего на практике используют прямоугольную декартову систему координат (ПДСК). Тогда в качестве базисных векторов фиксируют единичные векторы, которые попарно перпендикулярны. На плоскости приходим к системе координат .
Рассмотрим декартову систему координат в пространстве. В качестве базисных векторов выбираем векторы , считая , . Такой базис называют ортонормированным, а векторы – ортами координатных осей.
Всюду далее будем рассматривать правую тройку базисных векторов , т.е. с конца вектора поворот до положительного направления «видим» как движение против часовой стрелки (в случае левой тройки это движение «видим» по часовой стрелке).
|
|
|
В пространстве ПДСК имеет три плоскости: . Эти плоскости делят трехмерное пространство на 8 частей – октантов. I-й октант тот, где направления положительны.
20. Переход к координатным соотношениям между векторами
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат в пространстве с базисом . Используя понятие разложения вектора по базисным векторам и понятие координат в базисе, получаем
, т.е. .
Аналогично:
; .
Вектор, начало которого совпадает с началом системы координат называется радиус-вектором.
Согласно общей теории всякий вектор можно однозначно разложить по базисным векторам (по базису)
.
30. Действия над векторами в координатной форме
Рассмотрим векторы , .
Геометрически вектор является диагональю прямоугольного параллелепипеда, который имеет измерения . Согласно теореме из стереометрии для длины диагонали выполняется
,
,
. (1)
Поскольку координаты вектора в ПДСК – проекции на соответствующие оси, то согласно свойствам линейности проекции:
;
.
Рассмотрим задание вектора координатами начала и конца , .
|
|
|
Формула (2) – формула вычисления координат вектора по координатам его начала и конца.
Допустим, что некоторый отрезок делится точкой в отношении , т.е. . Произведя соответствующие построения в ПДКС можно доказать следующие формулы для нахождения координат точки :
(3)
При точка будет серединой отрезка.
Определение. Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов , которые образует этот вектор с координатными осями , , соответственно.
Используя формулу для проекции вектора на ось имеем:
(4)
(5)
Из формул (5) можно найти углы, которые образует вектор с координатными осями.
Если равенство (5) возвести в квадрат и сложить, получим
.
Рассмотрим единичный вектор . Тогда из (4)
Последнее означает, что координаты всякого единичного вектора равны направляющим косинусам.
|
|
Если , то существует число такое, что . Тогда
, ,
, .
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 530; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!