Свойства аналитических функций. Теорема Коши-Римана
Свойства аналитических функций:
Результаты примеров 2.41 и 2.43 не являются случайными. Более того, поскольку понятие аналитичности функции определяется через понятие дифференцируемости, то, учитывая утверждение 2.5 о свойствах функций, дифференцируемых в точке, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.
Утверждение 2.9
1. Сумма, произведение функций, аналитических в точке, есть функция, аналитическая в этой точке. Поэтому, в силу аналитичности функции 
(см.пример 2.41), линейная комбинация функций, аналитических в точке, является аналитической функцией.
2. Частное функций, аналитических в точке, есть функция, аналитическая в этой точке, если знаменатель в ней отличен от нуля.
3. Суперпозиция аналитических функций — функция аналитическая.
4. Если 
— аналитическая в точке 
и 
, то обратная функция 
является аналитической в 
.
Эти свойства используются в большинстве случаев при исследовании функции на аналитичность. При этом отпадает необходимость проверять условия Коши-Римана. Правила нахождения производной такие же, как в действительном анализе (см. утверждение 2.5). Очевидно, совпадают и табличные производные и нет необходимости использовать формулу (2.20).
Теорема Коши-Римана.
Теорема Коши-Римана: Пусть 
определена в окрестности 
. Для существования производной в необходимо и достаточно:
1) 
и 
- дифференцируемы в вещественном смысле в точке 
2) выполняются Условия (C-R) Коши-Римана: 
В точке
При этом 
Последовательности и ряды комплексных чисел.
Последовательности комплексных чисел:
Основные понятия, связанные с последовательностями комплексных чисел, вводятся так же, как в действительной области.
1. Если каждому натуральному числу 
поставлено в соответствие комплексное число 
, то говорят, что задана последовательность комплексных чисел (последовательность с комплексными членами): 
.
2. Последовательность 
называется ограниченной, если существует число 
, такое, что для любого 
выполняется неравенство 
. Последовательность, не являющаяся ограниченной, называется неограниченной: для 
, что 
.
3. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого числа 
найдется номер 
, такой, что для всех 
, удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
— бесконечно малая 
.
Правило 1.1. Чтобы по определению доказать, что данная последовательность является бесконечно малой, следует:
1) записать неравенство 
, где 
— любое, ;
2) решить это неравенство относительно ;
3) из полученного решения , определить .
4. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа 
найдется номер 
, такой, что для всех , удовлетворяющих условию 
, выполняется неравенство 
. Геометрически это означает, что члены последовательности для расположены в окрестности бесконечно удаленной точки, в области 
.
Из определений бесконечно малой и бесконечно большой последовательностей легко установить связь между ними. Если 
— бесконечно малая последовательность, то 
— бесконечно большая, и наоборот, если — бесконечно большая последовательность, то 
— бесконечно малая.
5. Число 
называется пределом последовательности , если последовательность 
является бесконечно малой (обозначается 
):
для .
Ряды с комплексными членами:
Основные понятия, связанные с рядами в комплексной области, вводятся так же, как в действительной области.
1. Выражение вида 
, где 
— последовательность комплексных чисел, называется числовым рядом с комплексными членами (обозначается 
).
2. Сумма 
называется n-й частичной суммой ряда, обозначается 
последовательность 
— последовательность частичных сумм ряда.
3. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует 
. Этот предел называется суммой ряда:
— сумма ряда; 
— остаток ряда.
4. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ряд 
. Заметим, что ряд — ряд с действительными положительными членами.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 339; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!