Ротор векторного поля. Формула Стокса
Потенциальное поле.
Потенциальное (или безвихревое) векторное поле в математике — векторное поле, которое можно представить как градиент некоторой скалярной функции координат (потенциала). Необходимым условием потенциальности векторного поля в трёхмерном пространстве является равенство нулю ротора поля. Однако это условие не является достаточным (например, вмногосвязной области у безвихревого поля может не существовать скалярный потенциал).
Пусть — потенциальное векторное поле; оно выражается через потенциал как
(или в другой записи ).
Для поля сил и потенциала сил эта же формула записывается как
,
то есть для сил потенциалом является . Когда U не зависит от времени, оно является потенциальной энергией, и тогда знак «-» возникает просто по определению. В противном случае знак сохраняется ради единообразия.
Для поля выполняется свойство независимости интеграла от пути :
,
Это равносильно
.
Интеграл по замкнутому контуру обращается в 0, поскольку начальная и конечная точка совпадают. И наоборот, предыдущую формулу можно вывести из этой, если разбить замкнутый контур на два незамкнутых.
Необходимое условие записывается как (или в другой записи ).
Комплексные числа. Основные понятия.
Ко́мпле́ксные чи́сла (устар. мнимые числа) — числа вида , где и — вещественные числа, — мнимая единица; то есть . Множество всех комплексных чисел обычно обозначается от лат. complex — тесно связанный.
|
|
Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач во всех областях математики и физики.
Стандартная модель:
Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел ; запись следует понимать как удобный способ записи пары .
Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:
·
·
Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — . На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть .
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные сотношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.
|
|
Матричная модель:
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
мнимой единице —
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 587; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!