Погрешность округления общей формулы трапеции и общей формулы Симпсона:
Для формулы трапеции:
Аналогично для формулы Симпсона:
Метод двойного пересчёта для оценки погрешности численного интегрирования.
При практических вычислениях часто бывает затруднительно оценить погрешность усечения формулы трапеции или формулы Симпсона из-за того, что надо находить max или . В этом случае используется метод двойного пересчета.
Заметим, что при уменьшении шага в 2 раза, в формуле трапеций уменьшается в 4 раза, а в формуле Симпсона в 16 раз.
Поэтому поступим следующим образом: вычислим интеграл на (a,b) дважды – с шагом h и h/2.
(рис.1)
если Ih - Ih/2 <3 , то | Ih/2 – Iточное |< . И поэтому в начале точное значение интеграла можно взять Ih/2 (оно будет найдено с заданной точностью).
Итак, при вычислении интеграла с помощью двойного пересчёта поступаем следующим образом: Ih - Ih/2 <3 , Iточное = Ih/2
если точность не достигнута, то шаг h уменьшаем в 2 раза, находим и так далее, пока точность не будет достигнута.
Замечание:
Формула трапеции имеет 2-ой порядок точности, т.к. в оценке для глобальных формул трапеции (имеется в виду глобальный вариант формулы (т.е. применяем формулу на одном и том же интервале)) и поэтому при уменьшении шага в k раз - уменьшается в раз.
Формула Симпсона имеет 4-ый порядок точности, т.к. .
Метод коррекции в двойном пересчёте.
|
|
Как видно из графика (рис.1),при двойном пересчёте в качестве Iточного выгодно использовать не Ih/2, а:
I = Ih/2+1/3(Ih/2-Ih) = Iкор
После коррекции по этой формуле точность метода возрастает на порядок, т.е. метод трапеции будет не второго, а третьего; а Симпсона – пятого порядка точности.
При использовании формулы Симпсона в методе двойного пересчета вместо 3 будет 15 .
Если |Ih-Ih/2 |<15 , то Ih/2 – значение интеграла с погрешностью, не больше .
Тема 6: Численные методы решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений (ДУ и СДУ).
П.1. Постановка задачи.
Необходимо решить ДУ и СДУ на некотором наперёд заданном интервале с наперёд заданной точностью, либо оценить погрешность, которая найдена решением.
В ЧМ мы ищем только частные решения ДУ.
П.2. Простейший вариант задачи.
Простейший метод её решения – метод Эйлера.
Имеем ДУ 1-го порядка, а вместе с ним одно начальное условие:
(Задача Коши)
В дальнейшем всегда будем рассматривать ДУ, разрешенное относительно старшей производной, т.е. вида:
(6.1)
Общая идея всех методов численного решения ДУ и СДУ:
Фиксируем шаг h и будем находить по некоторым специальным формулам
|
|
- задан, , ,…, , где - равностоящие точки, а , -границы интервала [a,b], на котором нам необходимо найти решение ДУ.
При этом, необходимо брать шаг h достаточно малым, с тем, чтобы погрешность была невелика.
Простейший метод решения ДУ – метод Эйлера:
Заметим, что - величина нам известная. Заменим неизвестное нам решение ДУ на касательную, а именно:
В общем виде: (формула Эйлера).
Геометрическая интерпретация метода Эйлера:
Локальная погрешность метода Эйлера:
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 504; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!