Численное дифференцирование функции
П.4 Тригонометрическая интерполяция.
1.В тригонометрической интерполяции в отличие от других видов интерполяции, интерполяция происходи не по , а по точкам, т.к. интерполирование происходит периодически и , т.е. период
2. , - равноотстоящие узлы интерполяции.
4.1.Формулы Т.И.:
(4.18а)
где , (4.18б)
Замечание:
в этих формулах i– мнимая единица и для работы по (4.18а) , (4.18б) нужна формула Эйлера:
При Т.И. интерполирующая функция y(x):
1) периодична с периодом .
2) в узлах интерполяции , т.е. если -вещественное, то в узлах мнимая часть y – нулевая.
3) в промежуточных точках у может принимать комплексные значения, но Im y – будет не велика и её можно отбросить.
4) если число узлов интерполяции нечётное, т.е. n=2n+1, и все - вещественные, то функция у полученная по (4.18а) , (4.18б) сама по себе будет вещественна.
Коэффициенты - комплексные, а - вещественные функции и в этом случае вычисления можно осуществлять не с комплексными, а с вещественными числами по формуле (4.19).
(4.19а)
(4.19б) ; ;
Быстрое преобразование Фурье.
Определение: преобразование набора значений функции (y0…yn-1) в набор коэффициентов (A0…An-1) (используя (4.18б)), участвующих в разложении Фурье, называется прямым преобразованием Фурье (ППФ), а обратным преобразованием Фурье (ОПФ) – преобразование массива Aj в yk (по (4.18б)).
|
|
Если осуществлять эти вычисления непосредственно по (4.18а, б), то трудоёмкость - (т.к. имеем n коэффициентов, в каждом из которых n слагаемых).
Эти же вычисления можно делать по более быстрым формулам – быстрое преобразование Фурье. Трудоёмкость по этим формулам существенно меньше: не , а .
Многомерная интерполяция.
Пусть мы имеем функцию нескольких переменных, значения которой нам известны в некоторых точках (при задаче интерполирования нам надо знать значение функции f в наперед заданной точке).
Решим простой вариант двумерной интерполяции f(x,y):
- узлы образующие прямоугольную сетку.
1)Интерполируем функцию по х (при фиксированном у) и получим значение функции в точке х.
При фиксированном х, 1 раз интерполируем по у (по
3-м ) и получим значение в точке .
2)х и у можно поменять местами и сделать интерполяцию по у и 1 раз по х.
Значения полученные этими способами весьма близки к точным значениям функции, близки друг к другу, но могут и различаться.
П.5. Применение интерполяции.
Обратная интерполяция.
С помощью обратной интерполяции можно решать нелинейные уравнения.
|
|
Решим f(x)=a:
Идея обратной интерполяции: пусть f в близи корня уравнения f(x)=a – монотонно возрастает или убывает, тогда у неё существует обратная функция.
g(x) – обратная функция, значение которой в точке а нас не интересует.
f(x)=a ;
и будет искомым корнем уравнения f(x)=a,
Возьмём интервал , на котором f – монотонна и имеет обратную функцию, следовательно, мы знаем
Применим интерполяцию для вычисления значений обратной функции g и найдем значение интерполирующей функции в точке а. Это и будет, приблизительно, искомый корень.
x=g(a)
При этом при интерполяции х и у меняются местами, так как мы интерполируем не f а g.
Пример:
х | 10 | 15 | 17 | 20 |
у | 3 | 7 | 11 | 17 |
f(x)=10
Решение находим интерполируя обратную функцию по 4-м точкам (например, по формуле Лагранжа).
Численное дифференцирование функции.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 314; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!