Интервал варьирования. Выбор интервалов варьирования
Интервалом варьирования факторов называется некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровни факторов. Расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем и есть интервалом варьирования. Поэтому, чтобы выбрать уровни, необходимо сначала выбрать интервал варьирования.
Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний – 1, а основной 0.
На выбор интервала варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу: интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора, иначе верхний и нижний уровни факторов окажутся неразличимы. Интервал варьирования не может быть также очень большим, иначе верхний и нижний уровни окажутся за пределами области определения.
Выбор интервалов варьирования является неформализованным этапом планирования эксперимента и производится на основе опыта и интуиции исследователя. При этом следует учитывать точность фиксирования факторов и оценивать силу влияния фактора на величину параметра оптимизации и величину ошибки измерения параметра оптимизации.
Это поможет избежать ситуации, при которой интервал варьирования окажется недостаточным для того, чтобы уловить изменение параметра оптимизации. Важно учитывать характер решаемой задачи. При решении задачи оптимизации для первой серии экспериментов стремятся выбрать такой интервал варьирования, который давал бы возможность для шагового движения к оптимуму.
|
|
|
Ориентировочно можно принять, что если интервал составляет не более 10% от области определения, то следует считать его узким, не более 30% - средним, более 30% -широким. Минимально наблюдаемое число уровней факторов определяется максимальным порядком интерполяционного полинома по данному фактору. Оно должно быть не единицу больше этого порядка. Наиболее широко применяется планирование на двух уровнях, которое позволяет описать процесс полиномиальной линейной.
Экзаменационный билет 14
Математическая модель
Математическая модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.
Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модельназывается компьютерной математической моделью,а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной моделиназывается вычислительным экспериментом.
|
|
|
Выбор модели
Под моделью мы понимаем функцию отклика
Выбрать модель – значит выбрать вид этой функции, записать ее уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения.
Построим геометрический аналог функции отклика – поверхность отклика. Будем для наглядности рассматривать случай с двумя факторами.
Заметим, что в случае многих факторов геометрическая наглядность теряется. Мы попадаем в абстрактное многомерное пространство, где у нас нет навыка ориентирования. Приходится переходить на язык алгебры.
Мы хотим изобразить геометрически возможные состояния «черного ящика» с двумя входами. Для этого достаточно располагать плоскостью с обычной Декартовой системой координат. По одной оси координат будем откладывать в некотором масштабе значения (уровни) одного фактора, а по другой оси – второго. Тогда каждому состоянию «ящика» будет соответствовать точка на плоскости.
|
|
|
Для факторов существуют области определения. Это значит, что у каждого фактора есть минимальное и максимальное возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, внутри которого лежат точки, соответствующие состояниям «черного ящика». Пунктирными линиями на рисунке обозначены границы областей определения каждою из факторов, а сплошными – границы их совместной области определения.
Чтобы указать значение параметра оптимизации, требуется еще одна ось координат. Пространство, в котором строится поверхность отклика, мы будем называть факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметра оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При многих факторах поверхность отклика уже нельзя изобразить наглядно и приходится ограничиваться только алгебраическим языком.
Но для двух факторов можно даже не переходить к трехмерному пространству, а ограничиться плоскостью.
Для этого достаточно произвести сечение поверхности отклика плоскостями, параллельными плоскости X1OX2 и полученные в сечениях линии спроектировать на эту плоскость.
|
|
|
Каждая линия соответствует постоянному значению параметра оптимизации. Такая линия называется линией равного отклика.
Полиноминальные модели
Мы представили неизвестную нам функцию отклика полиномом. Операция замены одной функции другой в каком-то смысле эквивалентной функцией называется аппроксимацией. Значит, ми аппроксимировали неизвестную функцию полиномом.
Эксперимент нужен только для того, чтобы найти численные значения коэффициентов полинома. Поэтому чем больше коэффициентов, тем больше опытов окажется необходимым. А мы стремимся сократить их число. Значит, надо найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели. Чем ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нем коэффициентов.
Мы хотим, чтобы модель хорошо предсказывала направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением градиента. Ясно, что движение в этом направлении приведет к успеху быстрее, чем движение в любом другом направлении (это значит, что будет достигнута экономия числа опытов).
Полином первой степени – линейная модель – это то, что нам нужно.
С одной стороны, он содержит информацию о направлении градиента, с другой – в нем минимально возможное число коэффициентов при данном числе факторов. Единственное опасение в том, что неясно, будет ли линейная модель всегда адекватной. Ответ зависит еще и от объекта.
Вопрос в том, как выбрать подобласть в факторном пространстве, чтобы линейная модель оказалась адекватной. Условие аналитичности функции отклика гарантирует нам эту возможность. Всегда существует такая окрестность любой точки (точнее, почти любой точки), в которой линейная модель адекватна.
Размер такой области заранее не известен, но адекватность можно проверять по результатам эксперимента. Значит, выбрав сначала произвольную подобласть, мы, рано или поздно, найдем ее требуемые размеры, И как только это случится, воспользуемся движением по градиенту.
На следующем этапе мы будем искать линейную модель уже в другой подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение по градиенту не перестанет давать эффект. Это значит, что мы попали и область, близкую к оптимуму. Такая область называется «почти стационарной». Здесь линейная модель уже не нужна. Либо попаданием в почти стационарную область задача решена, либо надо переходить к полиномам более высоких степеней, например второй степени, чтобы подробнее описать область оптимума.
Удачный выбор подобласти имеет большое значение для успеха всей работы. Он связан с интуитивными решениями, которые принимает экспериментатор на каждом этапе.
Кроме задачи оптимизации, иногда возникает задача построения интерполяционной модели. В этом случае нас не интересует оптимум. Просто мы хотим предсказывать результат с требуемой точностью во всех точках некоторой заранее заданной области. Тут не приходится выбирать подобласть. Необходимо последовательно увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной. Если адекватной оказывается линейная, или неполная квадратная модель (без членов, содержащих квадраты факторов), то ее построение аналогично тому, что требуется для оптимизации.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 2446; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!