Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Рисунок 1.7 - К выводу теоремы Гаусса.

Определим поток напряженности электростатического поля зарядов q₁,q₂,...q_n в вакууме (e=1) через произвольную замкнутую поверхность, окружающую эти заряды.

Рассмотрим сначала случай сферической поверхности радиусом R, окружающей один заряд +q, находящийся в ее центре (рис.1.7).

, где - есть интеграл по замкнутой поверхности сферы. Во всех точках сферы модуль вектора одинаков, а сам он направлен перпендикулярно поверхности. Следовательно .

Рисунок 1.8 - Пересечение силовыми линиями поверхности, охватывающей заряд.

Площадь поверхности сферы равна

. Отсюда следует

Полученный результат будет справедлив и для поверхности S¢ произвольной формы, так как ее пронизывает такое же количество силовых линий.

На рисунке 1.8 представлена произвольная замкнутая поверхность, охватывающая заряд q>0. Некоторые линии напряженности то выходят из поверхности, то входят в нее. Для всех линий напряженности число пересечений с поверхностью является нечетным.

Как отмечалось, линии напряженности, выходящие из объема, ограниченного замкнутой поверхностью, создают положительный поток Ф_е; линии же, входящие в объем, создают отрицательный поток -Ф_е. Потоки линий при входе и выходе компенсируются. Таким образом, при расчете суммарного потока через всю поверхность следует учитывать лишь одно (не скомпенсированное) пересечение замкнутой поверхности каждой линией напряженности.

Если заряд q не охватывается замкнутой поверхностью S, то

Рисунок 1.9 - Пересечение силовыми линиями поверхности, не охватывающей заряд.

количество силовых линий, входящих в данную поверхность и выходящих из нее, одинаково (рис.1.9). Суммарный поток вектора

через такую поверхность равен нулю: Ф_Е=0.

Рассмотрим самый общий случай поверхности произвольной формы, охватывающей n зарядов. По принципу суперпозиции электростатических полей напряженность , создаваемая зарядами q₁,q₂,...q_n равна векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Проекция вектора - результирующей напряженности поля на направление нормали к площадке dS равна алгебраической сумме проекций всех векторов на это направление: ,

отсюда .

Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную e₀. Эта формулировка представляет собой теорему Гаусса.

В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью , различной в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд объема V, охватываемого замкнутой поверхностью S равен и теорему Гаусса следует записать в виде .

Теорема Гаусса представляет значительный практический интерес: с ее помощью можно определить напряженности полей, создаваемых заряженными телами различной формы.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 309; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 23

Мы поможем в написании ваших работ!