Механический смысл производной
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела или материальной точки.
Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка находилась на расстоянии от начального положения .
Через некоторый промежуток времени она переместилась на расстояние . Отношение = - средняя скорость материальной точки . Найдем предел этого отношения, учитывая что .
Следовательно, определение мгновенной скорости движения материальной точки сводится к нахождению производной от пути по времени.
Геометрическое значение производной
Пусть у нас есть графически заданная некоторая функция .
Рис. 1. Геометрический смысл производной
Если , то точка , будет перемещаться по кривой, приближаясь к точке .
Следовательно , т.е. значение производной при данном значении аргумента численно равняется тангенсу угла образованного касательной в данной точке с положительным направлением оси .
Таблица основных формул дифференцирования.
Степенная функция
Показательная функция
Логарифмическая функция
Тригонометрическая функция
Обратная тригонометрическая функция
Правила дифференцирования.
Производная от
Производная суммы (разности) функций
Производная произведения двух функций
|
|
Производная частного двух функций
Производная от сложной функции.
Пусть дана функция такая, что ее можно представить в виде
и , где переменная является промежуточным аргументом, тогда
Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.
Пример1.
Пример2.
Дифференциал функции.
Пусть есть , дифференцируемая на некотором отрезке и пусть у этой функции есть производная
,
тогда можно записать
(1),
где - бесконечно малая величина,
так как при
Умножая все члены равенства (1) на имеем:
, где - б.м.в. высшего порядка.
Величина называется дифференциалом функции и обозначается
.
Геометрическое значение дифференциала.
Пусть дана функция .
Рис.2. Геометрический смысл дифференциала.
.
Очевидно, что дифференциал функции равен приращению ординаты касательной в данной точке.
Производные и дифференциалы различных порядков.
Если есть , тогда называется первой производной.
Производная от первой производной называется производной второго порядка и записывается .
|
|
Производной n-го порядка от функции называется производная (n-1)-го порядка и записывается:
.
Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.
. .
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 356; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!