ГЛАВА 1. Краткие сведения из элементарной математики
МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ АКАДЕМИКА И.П. ПАВЛОВА
КАФЕДРА МЕДИЦИНСКОЙ И БИОЛОГИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
КРАТКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧ
МЕДИЦИНЫ И БИОЛОГИИ
Учебно-методическое пособие
Санкт-Петербург
2000г.
Данное учебное пособие предназначено для студентов первого курса медицинского вуза. Оно написано в соответствии с учебной программой по высшей математике. В пособии кратко излагается ряд разделов математики, знание которых необходимо студентам медикам для усвоения естественно–научных, некоторых медико-биологических и медико-профилактических дисциплин.
Пособие может быть использовано также слушателями подготовительного факультета для иностранных учащихся.
Авторский коллектив - В.В. Мещанинова, Д.В. Соколов, Б.С. Кулинкин, Н.В.Камчаткина, Э.Н. Горбачева, И.А. Михайлова, В.А. Марущак, Н.Е. Проценко, О.В. Шокин, В.А. Громова.
Рецензент – доцент А.А. Опалев.
Утверждено ЦМК Физиолого-химических дисциплин (протокол №______ от________2000 г.)
Издательство СПбГМУ, 2000.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................................................................................... 5
ГЛАВА 1. Краткие сведения из элементарной математики......................................... 6
1. Функция.................................................................................................................................... 6
|
|
1.1. Способы задания функции.................................................................................................. 6
1.2. Основные элементарные функции...................................................................................... 7
2. Логарифмы и их свойства..................................................................................................... 7
ГЛАВА 2. Элементы высшей математики......................................................................... 8
1. Пределы.................................................................................................................................. 8
1.1. Основные теоремы о пределах.......................................................................................... 9
1.2. Примеры вычисления пределов.......................................................................................... 9
2. Производная функции............................................................................................................ 9
2.1. Механический смысл производной..................................................................................... 10
2.2. Геометрическое значение производной.............................................................................. 11
2.3. Таблица основных формул дифференцирования............................................................... 11
2.4. Правила дифференцирования............................................................................................ 12
2.5. Производная от сложной функции...................................................................................... 12
3. Дифференциал функции....................................................................................................... 12
|
|
3.1. Геометрическое значение дифференциала......................................................................... 13
3.2. Производные и дифференциалы различных порядков....................................................... 13
3.3 Решение биологических задач с применением дифференцирования................................... 13
4. Функция нескольких переменных......................................................................................... 14
4.1. Частные производные......................................................................................................... 14
4.2. Полное приращение и полный дифференциал................................................................... 15
4.3. Примеры для самостоятельной работы............................................................................. 15
5. Неопределенный интеграл.................................................................................................... 15
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл...................................................................... 15
5.2. Свойства неопределенного интеграла................................................................................ 16
5.3.Таблица интегралов............................................................................................................. 17
5.4. Интегрирование методом замены переменного или способом подстановки....................... 17
5.5.Интегрирование по частям................................................................................................... 18
6. Определенный интеграл........................................................................................................ 18
|
|
6.1. Основные свойства определенного интеграла................................................................... 19
6.2. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.............................. 20
6.3. Применение интегралов для решения количественных медицинских задач........................ 20
7. Дифференциальные уравнения. Введение. Постановка задачи...................................... 21
7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)..................................... 22
7.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными........... 23
ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины........................................................... 25
ГЛАВА 4. Краткое введение в теорию комплексных чисел.......................................... 27
ГЛАВА 5. Дифференциальные уравнения второго порядка....................................... 28
1. Линейное однородное дифференциальное уравнение...................................................... 28
1.1. Алгоритм решения дифференциального уравнения........................................................... 29
1.2.Примеры решения дифференциальных уравнений.............................................................. 30
ГЛАВА 6. Применение дифференциальных уравнений для исследования колебательных процессов................................................................................................................................... 32
|
|
1. Состояние динамических систем вблизи положения равновесия................................... 32
2. Дифференциальное уравнение механических колебаний................................................ 33
ГЛАВА 7. Математическое моделирование в биологии и медицине........................ 37
1. Модель Вольтерра................................................................................................................. 37
2. Фармакокинетическая модель.............................................................................................. 41
3. Простейшая математическая модель эпидемии................................................................ 44
4. Простейшая модель инфекционного заболевания............................................................ 45
Предисловие
Современное естествознание вступило в эру количественных и точных методов познания жизненных процессов. Одним из примеров этого является активное развитие математического моделирования в биологии и медицине с широким привлечением компьютеров и прикладных программ.
Очевидно, что без знания основных математических понятий и законов невозможно глубокое изучение физических, физико-химических и физиологических процессов, обеспечивающих жизнедеятельность организма, понимание сущности математического моделирования и др.
Трудности, возникающие при решении конкретных количественных биологических и медицинских задач связаны, как правило, с пробелами знаний в различных разделах математики.
Настоящее учебное пособие разработано авторами с учетом опыта преподавания курса медицинской и биологической физики. В пособии очень кратко излагаются некоторые темы из курса элементарной математики, знание которых необходимо для понимания дальнейшего теоретического материала высшей математики. Кроме того к каждому разделу даны примеры и задачи и показаны способы их решения.
Более подробно рассмотрены колебательные процессы и вопросы математического моделирования в медицине и биологии.
ГЛАВА 1. Краткие сведения из элементарной математики.
Функция
При изучении различных явлений природы и решении целого ряда задач приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, пройденный телом путь мы рассматриваем, как величину переменную, изменяющуюся в зависимости от времени, т.е. пройденный путь есть функция времени.
Определение 1. Если каждому значению переменной , принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной , то есть функция от , т.е. .
Переменная называется независимой переменной или аргументом.
Зависимость переменных и называется функциональной зависимостью.
Определение 2. Совокупность значений , для которых определяются значения функции в силу правила , называется областью определения функции.
Способы задания функции
I. Табличный способ задания функции
При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргумента и соответствующие значения функции .
x | x1 | x2 | ... | xn |
y | y1 | Y2 | ... | Yn |
Таковы, например, таблицы тригонометрических функций.
В результате экспериментального изучения физических явлений, как правило, получаются таблицы, выражающие функциональную зависимость между измеряемыми величинами.
II. Графический способ задания функции
Если в прямоугольной системе координат на плоскости имеем некоторую совокупность точек , при этом никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной оси , то эта совокупность точек определяет некоторую однозначную функцию , где значениями аргумента являются абсциссы точек, значениями функции - соответствующие ординаты.
Совокупность точек плоскости , абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты - соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции.
III. Аналитический способ задания функции
Аналитическим выражением называется символическое обозначение совокупности математических операций, которые необходимо произвести в определенной последовательности над числами и буквами, обозначающими постоянные или переменные величины.
Если функциональная зависимость такова, что обозначает аналитическое выражение, то значит, что функция от задана аналитически.
Например: , , и т. д.
IV. Параметрический способ задания функции
Даны два уравнения: ,
где каждому значению соответствуют значения и . Эти уравнения называются параметрическими, - параметром. Часто уравнения некоторых кривых задают в параметрической форме. Например:
Это есть параметрические уравнения окружности. Если мы исключим из этих уравнений параметр , то получим уравнение окружности, содержащее только и . Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая, находим:
или
Можно также параметрически задать уравнение эллипса:
или
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 297; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!