Тема 3. Линейные функционалы и операторы
Глава 1. Линейные функционалы.
§ 1. Непрерывные линейные функционалы.
1.1. Определение линейного функционала.
Def Пусть - линейное нормированное пространство. Числовую функцию , определенную на называют функционалом .
Def Функционал называется линейным, если обладает свойствами:
1) аддитивности: .
2) Однородности: .
1.2. Примеры линейных функционалов
№ 1. Пусть есть -мерное пространство с элементами и - произвольный набор из фиксированных чисел. Тогда - линейный функционал в .
№ 2 В
№ 3. В более общий случай , где некоторая фиксированная непрерывная функция на . Линейность следует из основных свойств операции интегрирования.
№ 4. В рассмотрим другой функционал , т.е. фиксируем точку и для каждой функции функционал равен значению этой функции в данной точке. Этот функционал обычно записывают через -функцию Дирака
, где всюду, кроме , и интеграл от которой равен 1.
№ 5. Пусть - фиксированное число: Для каждого положим .
1.3. Определение непрерывного функционала.
Def В нормированном пространстве функционал называется непрерывным, если из условия следует
Def Функционал называется непрерывным на , если и такая окрестность , что при .
Если - конечномерное линейное нормированное пространство, то всякий линейный функционал на автоматически непрерывен. В общем случае из линейности функционала его непрерывность не вытекает.
|
|
§ 2 Связь между непрерывностью и ограниченностью.
Лемма. Если линейный функционал непрерывен в одной точке, то он непрерывен всюду на .
Таки образом, проверять непрерывность линейного функционала достаточно в одной точке, например в 0.
Нет определения ограниченного функционала
Теорема 1. Для того, чтобы линейный функционал был непрерывен на , необходимо и достаточно, чтобы такая окрестность нуля в , на которой функционал ограничен.
Теорема 2. Линейный функционал непрерывен тогда и только тогда когда он ограничен.
§ 3. Норма функционала.
3.1. Определение нормы
Def Нормой линейного непрерывного функционала называется число ,
Равносильные определения .
Из последнего определения следует очевидное свойство .
3.2. Примеры вычисления нормы.
Вычислим нормы функционалов из п.1.2.
№ 1. . , где .
(План
1) оцениваем , пытаясь выделить
2) делим на , получаем оценку для
3) подбираем элемент , на котором это значение достигается)
, т.е. , т.е. .
№2 в .
.
Т.е. причем при достигается равенство .
№ 3 .
Наш оператор линеен, непрерывен ограничен
.
Если знакопостоянна на , то равенство достигается при . Если знакопеременна, то равенство достигается при . Но эта функция не принадлежит . Поэтому надо построить последовательность непрерывных функций .
|
|
§ 4 Продолжение линейного функционала.
4.1. Продолжение по непрерывности.
Если в линейном пространстве задан функционал, определенный не на всем пространстве, а лишь на некотором подмножестве , то естественно возникает вопрос о его продолжении на все пространство с сохранением определенных свойств. Т.е. требуется построить новый функционал, определенный уже на всем пространстве, обладающий определенными свойствами и совпадающий на с ранее заданным.
Данный вопрос решается легко, если всюду плотно в .тогда продолжение функционала строится по непрерывности, т.е. , . Положим .
Заметим, что данное продолжение, является продолжением с сохранением нормы.
4.2. Продолжение функционала, заданного на подпространстве. Теорема Хана-Банаха.
Более сложный случай возникает, если функционал задан на подмножестве , не являющимся всюду плотным в .
Теорема Хана-Банаха.
Пусть - линейное нормированное пространство, - его подпространство. Тогда для любого непрерывного функционала , заданного на , существует такой функционал , заданный на всем , что 1) , если
|
|
2) .
4.3. Следствие из теоремы Хана-Банаха.
Следствие 1. , , .
Следствие 1 утверждает существование в любом линейном нормированном пространстве линейного непрерывного функционала, не равного тождественно нулю..
Следствие 3. Пусть - фиксированный элемент из . Если , то .
Следствие 4. (Об отделимости элемента и подпространства)
Пусть - подпространство . и .
Тогда линейный функционал , определенный всюду на и такой, что
1)
2)
3) .
Следствие 5 (Критерий замкнутости системы).
Для того чтобы система элементов была замкнутой необходимо и достаточно, чтобы из того, что функционал обращается в нуль на всех элементах следовало, что .
§ 5. Сопряженное пространство.
Пусть - множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на . Введем в операции сложения и умножения на число
; .
Примем за норму элемента норму соответствующего функционала. Поскольку она также удовлетворяет всем аксиомам нормированного пространства, то - линейное нормированное пространство. Оно называется сопряженным пространством к .
Т.к. линейное нормированное пространство, то можно говорить о пространстве , непрерывных линейных функционалов на , т.е. о втором сопряженном пространстве к .
|
|
Def Те пространства для которых называются рефлексивными.
В этом случае и ( )
Вложение желательно определять равенством .
§ 6. Сильная и слабая сходимости.
6.1. Сильная сходимость
Def Последовательность функционалов сходится к элементу , сильно, если при .
Теорема. Сопряженное пространство полно (в сильной топологии) внезависимости от того, полно само или нет.
6.2. Теорема Банаха-Штейнгауза (Критерий слабой сходимости)
Теорема.
Если последовательность линейных функционалов, ограничена в каждой точке , то последовательность норм этих функционалов, также ограничена.
6.3. Слабая сходимость.
Def Последовательность называется слабо сходящейся к элементу , если для каждого фиксированного .
Теорема 1 (Критерий слабой сходимости для функционалов)
Для того, чтобы последовательность линейных функционалов слабо сходилась к линейному функционалу , необходимо и достаточно, чтобы:
1о. Последовательность была ограничена
2о. для любого из некоторого множества , линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в (т.е. на базисе.)
Заметим, что из теоремы Банаха-Штейнгауза следует важный результат.
Теорема 2. Пространство полно в слабой топологии, если само - полно.
6.4. Связь между сильной и слабой сходимостью.
Из сильной сходимости последовательности функционалов следует ее слабая сходимость
Из слабой сходимости последовательности функционалов следует сильная только в случае конечномерных пространств.
В общем случае это неверно.
§ 7. Общий вид линейных функционалов.
7.1. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса.
Теорема Рисса.
Всякий линейный непрерывный функционал в гильбертовом пространстве имеет вид , где - некоторый элемент из , однозначно определяемый функционалом . При этом .
Теорема Рисса означает, что сопряженное пространство изоморфно самому (т.е. можно установить взаимнооднозначное соответствие).
7.2. Общий вид линейного функционала в и ( ).
№ 1 , изоморфно
, где
или .
№ 2. , изоморфно пространству всех ограниченных последовательностей с нормой
, где
.
№ 3 - пространство стремящихся к нулю последовательностей с нормой
изоморфно пространству
,
№ 4 , изоморфно
, где
.
№ 5. изоморфно пространству - ограниченных на функций, т. е. Функций, существенные максимумы которых конечны (почти всюду огранич. функций)
; где - почти всюду на ограниченная функция и .
Заметим, что при и т.е. и - самосопряженные пространства, т.е. гильбертовы.
7.3. Общий вид линейного функционала в
Теорема (Ф.Рисса) всякий линейный непрерывный функционал в пространстве представим в виде интеграла Стилтьеса
, где - некоторая функция ограниченной вариации на .
При этом .
Эта теорема устанавливает изоморфизм и - пространства функций с ограниченным изменением.
Глава II. Линейные операторы.
§ 1. Непрерывные линейные операторы
1.1. Определение линейного оператора.
Def оператор , определенный на пространстве и принимающий значения в пространстве , называется линейным, если этот оператор
1) аддитивен, т.е. .
2) Однороден, т.е. , .
В дальнейшем будем писать также
1.2. Определение непрерывного оператора
Def Оператор называется непрерывным в точке , если при (здесь ) или, что равносильно: если .
Def Если оператор непрерывен в каждой точке , то говорят, что непрерывен на .
Теорема. Если линейный оператор , действующий из банахова пространства непрерывен в какой-либо одной точке банахова пространства , то он равномерно непрерывен на всем .
1.3. Примеры линейных операторов
№ 1. Пусть , где - линейное нормированное пространство.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором.
№ 2. Пусть , где непрерывная фиксированная функция, такой оператор называется оператором умножения на функцию , линейность оператора очевидна.
№ 3. Пусть - оператор дифференцирования , где -пространство непрерывно дифференцируемых функций на с нормой .
№ 4. Общий вид линейного оператора, переводящего конечномерное пространство в конечномерное. Пусть , тогда , такой что . Ясно, что оператор определяется матрицей коэффициентов
§ 2. Связь между непрерывностью и ограниченностью
Def Оператор называется ограниченным, если такая постоянная , что .
Теорема. Для того чтобы линейный оператор был непрерывен чтобы он был ограничен.
§ 3. Норма оператора.
3.1. Определение нормы оператора.
Def Пусть - линейный ограниченный оператор. Наименьшая из постоянных , удовлетворяющих условию при всех называется нормой оператора и обозначается .
Равносильные определения .
3.2. Примеры вычисления нормы
Вычислим нормы операторов из п. 1.3.
№1. .
№2. .
Так как , то
Равенство достигается при .
№3
.
Единица не достигается, но , т.к. к ней можно сколь угодно приблизиться, например, на последовательности , , поэтому .
§ 4. Продолжение линейного оператора
В отличие от линейного функционала, линейный оператор может продолжаться только по непрерывности, т.е. теорем Хана-Банаха места не имеет.
Если линейный ограниченный оператор задан на - плотном множестве линейного нормированного пространства и если - банахово пространство, то данный оператор можно продолжить по непрерывности на все пространство с сохранением нормы.
Данное продолжение единственно.
§ 5. Пространство линейных ограниченных операторов.
5.1. Полнота пространства операторов.
Пусть и - линейные нормированные пространства. Обозначим символом совокупность всех линейных непрерывных операторов, действующих из в .
Действуя по аналогии с функционалами, введем в структуру линейного пространства следующим образом:
, .
Каждому элементу этой совокупности поставим в соответствие норму этого элемента .
Теорема. Множество с заданной нормой и операциями сложения и умножения на число является линейным нормированным пространством.
Если же - банахово пространство, то и - банахово.
5.2. Сходимость последовательности операторов.
Def Последовательность назовем сходящейся по норме к оператору , если .
Def Сходимость по норме называют также равномерной сходимостью. Если - функционал – то это сильная сходимость.
Def Последовательность назовем сильно сходящейся к , если .
Def Последовательность называют слабо сходящейся к оператору и обозначают , если .
Заметим, что сходимости связаны следующими соотношениями
.
В обратную сторону неверно.
Теорема 1.
Пространство полно относительно поточечной сходимости, если , - банахово (полное) пространство.
Основную роль в доказательстве этого факта играет
Теорема 2 (Банаха-Штейнгауза; принцип равномерной ограниченности).
Пусть , - банаховы пространства. Если последовательность ограничена в каждой точке , то последовательность норм ограничена.
5.3. Функции операторов
Вначале введем произведение операторов
Если , , то .
Тогда - линейный ограниченный оператор из .
В случае, если , то здесь можно определить операторы и и .
Учтем, что операция умножения свойством коммутативности не обладает, т.е. .
Теперь в можно ввести любую степень оператора
, , .
Тогда, чтобы определить функции операторов воспользуемся стандартными разложениями
, , , …
(Ряды сходятся, так как сходятся ряды из норм, а пространство полное, т.е. предел есть).
§ 6. Обратный оператор.
6.1. Понятие обратного оператора.
Решение систем линейных алгебраических уравнений, линейных интегральных уравнений, а также некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными сводится к вопросу о существовании и единственности решения линейных операторных уравнений вида .
Пусть задан линейный оператор , причем, его область определения , а область значений .
Обратное отображение, обозначаемое , называется обратным оператором.
Предположим, что оператор отображает на взаимно однозначно. В этом случае существует обратный оператор отображающий взаимно однозначно на . В этом случае оператор также является линейным оператором.
Def Множество тех , для которых , называется ядром линейного оператора и обозначается .
Теорема. Линейный оператор переводит в взаимно однозначно когда .
6.2. Односторонние обратные операторы
Def Линейный оператор имеет левый обратный, если такой, что .
В этом случае решение единственно однако вопрос о существовании решения остается открытым.
Def Линейный оператор имеет правый обратный, если такой, что , .
Def Если линейный оператор имеет правый и левый обратный, то они равны, т.е. оператор имеет единственный обратный оператор .
6.3. Теорема 1. Линейный оператор непрерывно обратим (т.е. линеен, непрерывен, а значит и ограничен) тогда и только тогда, когда областью значений оператора будет все , и такая, что
Теорема 2.
Пусть - банахово пространство, если оператор , такой, что , то оператор непрерывно обратим, справедливо равенство , где ряд сходится равномерно, и справедлива оценка .
Теорема 3. Множество обратимых операторов открыто.
6.4. Теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема. Если - линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство на банахово пространство , то обратный оператор ограничен.
Следствие 1. (Теорема об открытом отображении)
Линейное непрерывное отображение банахова пространства на все банахово пространство открыто.
Следствие 2. (Лемма о тройке).
Пусть - банаховы пространства и и - непрерывные линейные операторы из в и из в , соответственно, причем отображает на все (т.е. ). Если при этом , то такой непрерывный линейный оператор , отображающий в , что .
§ 7. Сопряженный оператор.
7.1. Определение сопряженного оператора.
Рассмотрим непрерывный линейный оператор , отображающий линейное нормированное пространство в такое же пространство . Пусть - линейный функционал, определенный на , т.е. .
Обозначив через получим
или .
Def Это соотношение и примем за определение сопряженного оператора.
7.2. Свойства сопряженного оператора.
1. Оператор линеен
2.
3.
4.
5.
6. .
7.3. Унитарный оператор.
Def Пусть - комплексное гильбертово пространство. Оператор отображает на все взаимно однозначно. Оператор называется унитарным, если выполняется равенство (т.е. унитарный оператор сохраняет скалярное произведение).
Свойства унитарного оператора
1о. Унитарный оператор линеен и ограничен.
2о. Унитарный оператор имеет обратный, который также унитарен.
3о. Произведение двух унитарных операторов есть унитарный оператор.
4о. Оператор является унитарным тогда и только тогда, когда [это следует из ].
5о. Унитарный оператор отображает с сохранением нормы, т.е. . [это следует из определения, т.к. ].
Точка называется регулярной, если
1)
2)
Тогда из теоремы об обратном операторе существует обратный оператор называемый резольвентой.
7.4. Понятие сопряженного оператора.
пусть - гильбертово пространство. Оператор, называется самосопряженным, если . т.е. выполняется равенство .
Множество всех сопряженных операторов из обозначается .
Теорема 1. Если , , то
Теорема 2. Пусть , .
Теорема 3. Если , то .
§ 8. Спектр оператора. Резольвента.
8.1. Конечномерный случай.
Пусть - линейный оператор в - мерном пространстве . Число называется собственным значением оператора , если уравнение имеет ненулевые решения . Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора , а все остальные значения - регулярными. Иначе говоря, - есть регулярная точка, если оператор обратим. При этом определен на всем и, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен.
Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:
1) Уравнение имеет ненулевое решение, т.е. есть собственное значение оператора , оператор при этом не существует.
2) существует ограниченный оператор , определенный на всем пространстве, т.е. регулярная точка.
8.2. Резольвентное множество
Определение Комплексное число (точка комплексной плоскости) называется регулярной точкой оператора , если оператор имеет обратный оператор , являющийся линейным непрерывным оператором, заданным на .
Совокупность всех регулярных точек оператора называется резольвентным множеством оператора и обозначается .
Если , то оператор из называется резольвентой оператора .
Резольвентное множество в комплексной плоскости всегда открыто. Кроме того, если , то .
8.3. Спектр оператора.
Def Дополнение к ( в комплексной плоскости) называется спектром линейного оператора и обозначается через , т.е. .
Для точек спектра линейного оператора возможны следующие случаи:
1) оператор не обратим и не инъективен (не взаимно однозначен) тогда является собственным значением оператора .
Совокупность всех собственных значений образует точечный спектр оператора .
2) оператор обратим, но определен не на всем , то возможны два варианта
2а) Замыкание области определения резольвенты равно всему , но , тогда называется точкой непрерывного спектра оператора . Множество всех точек непрерывного спектра обозначается через .
8.4. Спектр оператора умножения на функцию
Пусть в , где .
Рассмотрим уравнение .
Получили оператор . Он будет непрерывно обратим, если . Т.е. - регулярная точка оператора , если , где , . При этом резольвента .
Если , то - собственное значение – спектр состоит из одной точки.
Если , то спектр непрерывный .
Если же имеет участки постоянства, то значения на этих участках являются собственными значениями – то есть принадлежат точечному спектру.
Таким образом, спектр линейного непрерывного оператора состоит из трех непересекающихся частей: точечного спектра , непрерывного спектра , остаточного спектра , т.е. .
8.5. Спектральный радиус оператора.
Теорема 1. Пусть - банахово. Тогда конечный предел называемый спектральным радиусом оператора . При этом .
Теорема 2. Пусть . Если , то , т.е. спектр оператора содержится в круге .
Теорема 3. Если , то - непустое множество.
Спектральный радиус лучше определять как .
§ 9. Компактный оператор.
9.1. Определение компактного оператора.
Если оператор определен в конечномерных пространствах, то его можно довольно полно изучить ((знаем его общий вид (см. п.1.3.))у него есть обратный, сопряженный оператор, известны их свойства; спектр состоит только из характеристических чисел (собственных значений), их можно найти и т.д.).
Def Оператор , отображающий банахово пространство в себя (или в другое банахово пространство ) называется компактным (вполне непрерывным) если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное.
Например, единичный оператор в гильбертовом пространстве непрерывен, но не компактен.
9.2. Примеры компактных операторов.
№ 1 Единичный оператор в . Возьмем ограниченное множество в : единичную сферу . Покажем, что тождественный оператор переводит ее в непредкомпактное множество.
№2 В оператор . Возьмем единичный шар в - ограниченное множество. Оператор переводит его в гильбертов кирпич (Тема 1, глава 4, ч. 2.1. из III курса) который предкомпактен.
№ 3. Пусть - непрерывный линейный оператор, переводящий банахово пространство в некоторое его конечномерное подпространство. Такой оператор компактен, поскольку он переводит всякое ограниченное подмножество - в ограниченное подмножество конечномерного пространства, т.е. предкомпактное множество.
№ 4. В пространстве непрерывных функций важный класс компактных операторов образуют интегральные операторы вида .
Теорема. Если ограничена и непрерывна на квадрате , за исключением точек разрыва, лежащих на конечном числе кривых , , где - непрерывные функции. То оператор определяет в пространстве компактный оператор.
9.3. Пространство компактных операторов.
Теорема.
Пусть , - банаховы и - последовательность компактных операторов, сходящаяся по норме к некоторому оператору , то оператор - компактен.
9.4. Свойства компактных операторов.
Теорема 1. Если компактный оператор, а - ограниченный, то операторы и компактны.
Следствие. В бесконечномерном пространстве компактный оператор не может иметь ограниченного обратного.
Теорема 2. Оператор, сопряженный компактному, компактен.
Компактный оператор усиливает сходимость последовательности.
Теорема 3. Пусть компактный оператор, если сходится к слабо, то сходится к сильно в .
§ 10. Спектр компактного самосопряженного оператора.
10.1. Спектр компактного оператора.
Пусть - компактный оператор, действующий в банаховом пространстве .
Число называется собственным значением оператора , если вектор , такой, что . При этом вектор называется собственным вектором оператора , отвечающим собственному значению .
Теорема.
Пусть - компактный оператор в бесконечномерном банаховом пространстве . Тогда
1) спектр оператора - конечное или счетное подмножество круга и может содержать точку 0.
2) отличные от нуля точки являются собственными значениями конечной кратности, т.е. им отвечает конечное число собственных векторов.
3) если счетное множество, то - единственная предельная точка
4) имеется лишь конечное число линейных независимых собственных векторов, отвечающих собственным значениями из .
Т.е. все собственные значения оператора можно пронумеровать в порядке убывания модуля
5) в бесконечномерном пространстве может быть собственным значением как конечной, так и бесконечной кратности для линейного оператора, а для компактного – только конечной.
Пример (после вывода) . - компактный оператор (гильбертов кирпич) , но . Спектр. мн-во замкнутое, те. .
Вывод: Спектр компактного оператора конечен или счетен. Его непрерывный спектр или пуст или состоит из нуля. Ненулевые собственные значения имеют конечную кратность, причем, если их много, то они образуют последовательность, сходящуюся к нулю.
Относительно «0»:
1) он может не входить в спектр (конечномерный случай)
2) принадлежит точечному спектру ( собств. значения)
3) принадлежит непрерывной части спектра
10.2 Спектр компактного самосопряженного оператора. Собственные значения и собственные векторы компактного самосопряженного оператора , действующего в гильбертовом пространстве , обладают рядом дополнительных и важных свойств:
1) Если , то имеет, по крайней мере, одно собственное значение, отличное от нуля
2) Все собственные значения вещественны и расположены на отрезке , где ,
3) Числа , - точки спектра.
4) Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Теорема 1. Если - компактный самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом пространстве , то при любом элемент разлагается в ряд Фурье (сходящийся) по ортонормированной системе собственных векторов .
Теорема 2 (Гильберта-Шмидта) Если - компактный самосопряженный оператор в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве , то в существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора .
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 2714; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!