Тема 3. Линейные функционалы и операторы
Лекции по ФАН
Тема 1. Метрические пространства
ГЛАВА 1. МНОЖЕСТВА
§ 1. Операции над множествами
§ 2. Мощность множества
2.1. Конечные и счетные множества
2.2. Несчетные множества
2.3. Мощность множеств
ГЛАВА 2. МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Метрические пространства
1.1. Примеры метрических пространств
1.2. Непрерывное отображение
1.3. Предельные точки. Замыкание
1.4. Сходимость в метрических пространствах
1.5. Сепарабельность
1.6. Открытые и замкнутые множества
1.7. Открытые и замкнутые множества на прямой
1.8. Полные метрические пространства
1.9. Теорема о вложенных шарах и теорема Бора
1.10. Пополнение метрического пространства
§ 2. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2.1. Линейные пространства. Определение и примеры
2.2. Подпространства
2.3. Фактор-пространства
2.4. Нормированные пространства. Определение и примеры
§ 3. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
3.1. Предгильбертово пространство
3.2 Гильбертово пространство
3.3.Подпространства гильбертова пространства, ортогональные дополнения
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§ 1. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
§ 2. ПРИМЕНЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
2.1. Уравнения Фредгольма
2.2. Уравнения Вольтерра
ГЛАВА 4. КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. ПОНЯТИЕ КОМПАКТНОСТИ
§ 2. КОМПАКТНОСТЬ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
|
|
2.1 Полная ограниченность
2.2.Теорема Арцела-Асколи
ТЕМА 2. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
ГЛАВА 1. МЕРА ЛЕБЕГА
§ 1. МЕРА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ МНОЖЕСТВ
§ 2. ЛЕБЕГОВА МЕРА ПЛОСКИХ МНОЖЕСТВ
2.1. Внешняя мера множеств
2.2. Измеримые множества
2.3. Лебегова мера на прямой
§ 3. ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ
3.1. Счетная аддитивность меры
2.4. Лебегово продолжение меры
ГЛАВА 2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ
1.1. Определение и основные свойства
1.2. Эквивалентность функций
§ 2. Сходимость почти всюду
2.1 Определение сходимости почти всюду
2.2 Теорема Егорова
§ 3. СХОДИМОСТЬ ПО МЕРЕ
3.1. Определение сходимости по мере
3.2.Связь между сходимостью почти всюду и по мере
3.3. Теорема Лузина и С-свойство
ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 1. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ДЛЯ ПРОСТЫХ ФУНКЦИЙ
1.1. Отличие от интеграла Римана
1.2. Простые функции
1.3. Интеграл Лебега от простых функций
1.4. Свойства интеграла Лебега от простых функций
§ 2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
2.1. Определение суммируемой функции
2.2. Свойства интеграла Лебега
2.3. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
3.1. Теорема Лебега
3.2. Теорема Беппо Леви
3.3. Теорема Фату
§ 4. СРАВНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ЛЕБЕГА И РИМАНА
|
|
4.1. Сравнение интегралов по отрезку
4.2. Случай неограниченной функции
4.3. Случай неограниченного промежутка
§ 5. ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
5.1. Пространство
5.2. Пространство
5.3. Соотношения между различными видами сходимости
5.4. Пространство
Тема 3. Линейные функционалы и операторы
Глава 1. Линейные функционалы
§ 1. Непрерывные линейные функционалы.
1.1. Определение линейного функционала
1.2. Примеры линейных функционалов
1.3. Определение непрерывных функционалов
§ 2. Связь между непрерывностью и ограниченностью.
§ 3. Норма функционала
3.1. Определение нормы
3.2. Примеры вычисления нормы.
§ 4. Продолжение линейного функционала
4.1. Продолжение по непрерывности
4.2. Продолжение функционала, заданного на подпространстве. Теорема Хана-Банаха.
4.3. Следствие из теоремы Хана-Банаха.
§ 5 Сопряженное пространство
§ 6 Сильная и слабая сходимости
6.1. Сильная сходимость
6.2. Теорема Банаха-Штейнгауза.
6.3. Слабая сходимость.
6.4. Связь между сильной и слабой сходимостью.
§ 7 Общий вид линейных функционалов
7.1. Общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса.
|
|
7.2. Общий вид линейного функционала в и ( )
7.3. Общий вид линейного функционала в
Глава 2. Линейные операторы.
1.1. Определение линейного оператора
1.2. Определение непрерывного оператора
1.3. Примеры линейных операторов
§ 2. Связь между непрерывностью и ограниченностью.
§ 3. Норма оператора
3.1. Определение нормы оператора
3.2. Примеры вычисления нормы.
§ 4. Продолжение линейного оператора.
§ 5. Пространство линейных ограниченных операторов.
5.1 Полнота пространства операторов
5.2. Сходимость последовательности операторов.
5.3. Функции операторов.
§ 6. Обратный оператор
6.1. Понятие обратного оператора.
6.2. Односторонние обратные операторы
6.3. Теоремы об обратном операторе
6.4. Теорема Банаха об обратном операторе
§ 7 Сопряженный оператор
7.1. Определение сопряженного оператора
7.2. Свойства сопряженного оператора
7.3. Унитарный оператор.
7.4. Понятие само сопряженного оператора
§ 8. Спектр оператора. Резольвента
8.1. Конечномерный случай
8.2. Резольвентное множество
8.3. Спектр оператора
8.4. Спектр оператора умножения на функцию
|
|
8.5. Спектральный радиус оператора.
§ 9. Компактный оператор
9.1. Определение компактного оператора
9.2. Примеры компактных операторов.
9.3. Пространство компактных операторов.
9.4. Свойства компактных операторов
§ 10. Спектр компактного самосопряженного оператора
10.1. Спектр компактного оператора
10.2. Спектр компактного самосопряженного оператора
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 344; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!