Необходимый признак точки перегиба
| Вторая производная дважды дифференцируемой функции f (x) в точке х0, соответствующей точке перегиба, равна нулю, т.е. f″(x0) = 0. |
Точки, в которых вторая производная функции обращается в нуль, называются критическими точками.
Достаточный признак точки перегиба
| Если вторая производная дважды дифференцируемой функции y = f (x) при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то соответствующая точка M (x0, f (x0)) есть точка перегиба графика этой функции. |
Алгоритм отыскания точек перегиба
| 1. Найти вторую производную функции. 2. Приравнять вторую производную к нулю и, решив полученное уравнение, найти критические точки. 3. Проанализировав знаки второй производной слева и справа от каждой критической точки, найти точки перегиба графика функции. |
ПРИМЕР: Найти точку перегиба графика функции y = x3.
Вычислив вторую производную заданной функции и приравняв ее к нулю, получим уравнение y″ = 6x = 0. Решая это уравнение, найдем единственную критическую точку х0 = 0. Поскольку слева от этой точки вторая производная функции отрицательна, а справа – положительна, точка О (0, 0) будет точкой перегиба графика заданной функции.
Асимптоты графика функции и их отыскание
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x, f (x)) графика функции до этой прямой неограниченно уменьшается (стремится к нулю) при неограниченном удалении этой точки от начала координат. Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная и наклонная.
|
|
|
Определение. Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если точка х0 является точкой разрыва второго рода этой функции.
Таким образом, задача отыскания вертикальных асимптот сводится к задаче отыскания таких точек х0, в которых либо правый, либо левый, либо оба сразу пределы функции бесконечны.
ПРИМЕР: График функции y = 1 / x имеет вертикальную асимптоту х = 0, т.е. ось Oy, т.к. 
График этой функции приведен на рис. 10:
Рис. 10.
Определение. Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) при 
, если 
.
Задача отыскания горизонтальных асимптот, очевидно, сводится к нахождению указанных в определении пределов.
ПРИМЕР: График функции y = 1 / x имеет горизонтальную асимптоту y = 0, т.к. 
(рис. 10).
Определение.Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при , если параметры k и b уравнения этой прямой найдены по формулам:
Если хотя бы один из этих пределов не существует, то наклонные асимптоты отсутствуют. Кроме того, наклонные асимптоты имеет смысл искать только в том случае, когда отсутствуют горизонтальные асимптоты.
|
|
|
ПРИМЕР: Для функции 
существует наклонная асимптота с уравнением y = x + 2, т.к. вычисления по формулам определения дают:
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!