Возрастание и убывание функции
Напомним, что функция f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если для любых двух точек верно неравенство .
Сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на промежутке:
Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке. |
Экстремумы функции и их отыскание
Определение.Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f (x), если для всех х из некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0) (f (x) ≥ f (x0)).
Локальный минимум и локальный максимум принято объединять общим названием локальный экстремум. Экстремум носит локальный (местный) характер в том смысле, что неравенства определения не должны выполняться на всей области определения функции, а должны выполняться в некоторой (небольшой) окрестности точки х0, т.е. в некоторой локальной области. На всей же области определения функция может иметь несколько локальных экстремумов, причем может оказаться, что иной локальный максимум меньше по величине какого-то локального минимума (рис. 7):
Рис. 7.
Отыскание точек локального экстремума является важной задачей функционального анализа. Алгоритм этого отыскания базируется на ряде признаков, которые сформулированы ниже.
Необходимый признак локального экстремума
|
|
Если функция f (x) имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то |
Все точки х0, в которых производная функции обращается в нуль называются стационарными точками или точками возможного экстремума.
Необходимость приведенного признака вытекает из существования функций, для которых при выполнении условия экстремум в точке х0 отсутствует. Например, таким свойством обладает функция y = x3 в стационарной точке х0 = 0 (убедитесь в этом самостоятельно).
Достаточный признак локального экстремума
Если при переходе (в направлении слева направо) через стационарную точку х0 производная функции меняет знак с плюса на минус, то точка х0 является точкой локального максимума, если же – с минуса на плюс, то точка х0 является точкой локального минимума. Если при таком переходе знак производной не меняется, то в этой стационарной точке х0 экстремума нет. |
Достаточный признак локального экстремума № 2
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 291; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!