ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Магнитогорский государственный технический университет
им. Г. И. Носова»
(ФГБОУ ВО «МГТУ им. Г.И. Носова»)
Кафедра прикладной математики и информатики
Реферат
по дисциплине "Обратные задачи спектрального анализа"
на тему: "Постановка обратных задач. Теоремы единственности".
Выполнила: Путенихина Анна Сергеевна, ТПМм-17-1
Проверил: Кадченко Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, профессор
Магнитогорск, 2017
Содержание
ВВЕДЕНИЕ.. 3
1. ТЕОРЕМА АМБАРЦУМЯНА.. 4
2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ДАННЫМ... 5
3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ДВУМ СПЕКТРАМ... 9
4. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ.. 12
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 15
ВВЕДЕНИЕ
Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления возмущающего оператора по его некоторым заданным спектральным характеристикам, к которым можно отнести спектры при различных краевых условиях, спектральную функцию, нормировочные числа.
Главное место в исследовании обратных задач занимают проблемы существования и единственности решения. Что касается проблемы существования, то и до настоящего времени нет четких критериев глобального решения данного вопроса. Имеются ряд теорем существования для малых потенциалов, но даже в этом случае задачи не были полностью решены. Это связано со значительными математическими трудностями, вызванными нелинейностью уравнений, к которым сводятся обратные задачи. Многие обратные задачи имеют неединственное решение. Поэтому одним из основных вопросов в исследовании проблемы единственности является выявление дополнительных условий, обеспечивающих единственность решения обратной задачи.
Основная идея приложений обратных задач заключается в следующем: по результатам измерений определенных спектральных характеристик пытаются получить информацию об интересующих физических величинах. Обратные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании, в квантовой механике, в радиоэлектронике, теории упругости, в геофизике и т. д.
В настоящее время теория обратных спектральных задач интенсивно развивается благодаря появлению новых приложений в естественных науках.
ТЕОРЕМА АМБАРЦУМЯНА
Первый результат в теории обратных спектральных задач принадлежит Амбарцумяну. Рассмотрим краевую задачу , т.е.
| |
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ДАННЫМ
|
| Результат Амбарцумяна является исключением из правил. Вообще говоря, задание спектра не определяет оператор однозначно. в пунктах 2-4 приведены три теоремы единственности, в которых указаны спектральные характеристики, однозначно определяющие оператор.
| |
Мы дадим 2 доказательства теоремы 2. Первое принадлежит Марченко и использует оператор преобразования и равенство Парсеваля. Метод Марченко работает также и для операторов Штурма - Лиувилля на полуоси и позволяет доказать теорему единственности восстановления оператора по его спектральной функции. Второй метод принадлежит Левинсону и опирается на метод контурного интеграла. Отметим, что Левинсон первым применил идеи метода контурного интеграла к исследованию обратных спектральных задач.
Доказательство (Марченко). Согласно имеем
| |
При условиях теоремы (2.) . Следовательно
| |
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 413; | Поделиться с друзьями:
|
Мы поможем в написании ваших работ!