КАТУШКА С МАГНИТОПРОВОДОМ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 11 страница

Если токи направлены по-разному относительно одноименных выводов (рис. 2.49, в), то катушки включены встречно, т.е.

% = Ф_п - Ф₁₂; Ф₂ = Ф₂₂ + Ф₂₁

Здесь, как и ранее, под направлениями токов следует понимать их выбранные положительные направления.

Согласно закону электромагнитной индукции (2.2) в каждой катуш­ке будет индуктироваться ЭДС. В первой катушке ЭДС индукции

d{ф„±Ф₁₂)

⁶¹ ~ dt ~                dt "^e"^±eMi (2.78а)

и во второй катушке

<М₂_ d(Ф₂₂±Ф₂₁)                                         ₆

_dt~            _dt -e_L2±e_M2, (2.786)

гдеe_Ll= —d^n/dt =—L^ii/dt, e_L2= — d^₂₂/dt = —L^i^/dt— ЭДС самоиндукции первой и второй катушек; е_т = —с?Ф₁₂/dt = —Mdi^/dt, е_М2 =-dty_2l/dt = -Mdijdt — ЭДС взаимной индукции первой и вто­рой катушек.

На рис. 2.49, а показано, что внутри катушек собственный маг­нитный поток и магнитный поток, вызванный током в другой ка­тушке, направлены встречно, что соответствует нижнему знаку в (2.78) и рис. 2.49, в.

В 2.3 было отмечено, что напряжение на катушке индуктивности u_L= —e_L[см. (2.3)]. Для индуктивно связанных катушек аналогич­но

Щ = и_аЬ = -е₁ = —e_L1Т е_М1 = L_xdi_xjdt ±Md^/dt =u_Ll± и_М1; (2.79а)

Щ = v>cd = -вг = ~e_L2Т еж = L^/dt ± Mdi_xjdt =u_L2± и_т. (2.796)

При последовательном включении катушек индуктивности в общей точке могут быть соединены одноименные или разноименные выводы. В первом случае катушки включены согласно, а во втором — встречно.

Если за интервал времени t_xтоки в двух индуктивно связанных катушках изменяются от нуля до значений ц и то в их общем маг­нитном поле будет запасена энергия

h h h i₂ W_M=J ufadt+ J u₂i₂dt = L_XJ i_xdi_x+ L₂ J*^г₂±

0  0 о              0

±Mfi₁di₂±Mfi₂di₁=^ + ^±Mi₁i₂(2.80) о     0

(здесь применен метод интегрирования по частям:J г^ц — i^i₂ —

о

).

Таким образом, по сравнению с энергией магнитного поля двух ин­дуктивно не связанных катушек энергия общего магнитного поля двух индуктивно связанных катушек увеличивается или уменьшается на

Wm.b3= Mi_xi₂.

При синусоидальных токах в индуктивно связанных катушках для расчета цепей применим комплексный метод. По аналогии с ком­плексной формой закона Ома для индуктивного элемента (2.32) за­пишем в комплексной форме уравнения (2.79):

Ui = Uli ± и Ml = juLj, ± juMi₂= jX_Lli_x± jX_Mi₂,(2.81а)

й₂= u_L2 ± u_M2= jub₂i₂ ± juMi, = jx_L2i₂ ± jx_Mi_h(2.816)

гдеX_M=ojM— сопротивление взаимной индуктивности; Д и /₂ — комплексные значения токов.

(2.82а) (2.826)

(2.83a) (2.836)

Соответственно комплексные значения ЭДС самоиндукции и вза­имной индукции

Eli= ~ U_L1= -j^hh= Eui=-Umi= -juMi₂= -jX_Mi₂]_J E_L2= -U_{L 2}= —juL₂i₂= —jX_L2i₂; 1

e_M2 = -u_M2 = = —jx_Mi_v J

Комплексные мощности каждой из индуктивно связанных катушек

& = ujf= u_L1if± u_Mlif=

= jX_L1I!² ± jX_Mi*i₂= jQ_Ll ± S₁₂;

(2.84a)

(2.846)

S₂= U₂I* " U_L2I$ ± U_mI$ = = jX_L212 ± jX_MIfI₂= jQ_L2 ± S₂j.

Слагаемые

Sn = jX_Mifi₂= j^V^cos^ - 'Фа) - - X_MIJ₂sin(^_fl- -фа) = jQ₁₂- P_l2

£21 = jX_MiJ$ = jX_MIJ₂cos(^_a- ф_е) - - XMsin^a - t|>_a) = jQ_2l- P₂₁,

в которыхQ_i2= Q-_nи P₁₂= —P₂i определяют реактивную и актив­ную мощности, передаваемые соответственно из второй катушки в первую и из первой во вторую.

В общем случае цепи с п индуктивно связанными катушками на­пряжение на каждой к-и

п

и_k= jx_Lki_k± Yji^xMkpii

_Р=1

где р ^ к.

2.23. Потенциальная диаграмма электрической цепи

Режим работы сложных цепей синусоидального тока наглядно иллюстрируют потенциальные (топографические) диаграммы, т.е. распределение комплексных потенциалов точек цепи на комплекс­ной плоскости.

Построим потенциальную диаграмму цепи (рис. 2.50, а), для ко­торой в результате расчета определены комплексные значения то­ков в ветвях Д, /₂, /₃. Эти токи и ЭДС Ё_г и Ё₂ изображены на вектор­ной диаграмме (рис. 2.50, б).

(2.85)

(2.86)

>

ф2 = фг - иь2 = Фх -jXL2I2) Фз = Ф2 - Ur— ф2 Ш2; ф4 = ф3 +UL1= фз + jXL1ix= фх + Ёг; Фб = Фз - йс=фз- (~jXch)= Фх + Ё2.

\\ ЪЧ>2 \\ / V- б

Для построения потенциальной диаграммы цепи выберем точку начала отсчета потенциалов, например точку I, потенциал которойфх принят равным нулю. Определим комплексные значения потен­циалов остальных точек цепи. При указанных на схеме ца рис. 2.50, а положительных направлениях токов и заданных направлениях дей­ствия ЭДС

Потенциал точки, выбранной за начало отсчета, поместим в нача­ло координат (ф_х = 0). Соотношения (2.86) определяют потенциалы остальных точек цепи, а значит, и положения соответствующих точек на комплексной плоскости. Например, чтобы найти положение точ­ки, соответствующей потенциалу ф₂, нужно вектор комплексного тока /₂ повернуть по направлению движения часовой стрелки на угол -к/2, что соответствует согласно (2.26) умножению его на (-j), и умно­жить на Х_Ь2. При совмещении начала полученного в результате тако­го преобразования вектора с точкой расположения на комплексной плоскости потенциала ф_х (начало координат) конец вектора укажет положение потенциала ф₂. Аналогично находятся положения точек, изображающих комплексные потенциалы остальных точек цепи.

При построении потенциальных диаграмм цепей с индуктивно свя­занными катушками необходимо учесть, что напряжение на индук­тивных элементах в общем случае определяется выражением (2.85).

С помощью потенциальной диаграммы можно определить комп­лексные напряженияU_mn= ф_т — ф_п между различными точками т и п цепи, рассчитать комплексные мощности участков цепи S= Г/_тп/*_пит.д.

2.24. Круговые диаграммы. Фазосдвигающие цепи

Круговые диаграммы позволяют наглядно представить и анали­зировать режимы цепей, в которых значения параметров одного или нескольких участков изменяются. Такие цепи применяются, напри­мер, в фазосдвигающих устройствах автоматики.

Одна рз возможных схем фазосдвигающей цепи с двумя пассив­ными параллельными ветвями, токи в которых Д = E/(Ri + R₂) и /₂ = Ё/(R₃+ jX_c), приведена на рис. 2.51, а. Свойства цепи опреде­ляет ее потенциальная диаграмма (рис. 2.51, б), которая построена в предположении, что сопротивленияR_x= R₂, начальная фаза ЭДС Ё равна нулю и за начало отсчета потенциалов выбран потенциал точ­ки 4, т.е. ф₄ = 0; ф_х =Rj_x;ф₂ = Д₃/₂; ф₃ = ф₂ -jX_ci₂= Ё_у и так как Ri = R₂, то ф_х = Е/2.

\ Jxcli \

Е ©

±зХ_с

u₂i

ф

Вершина прямоугольного треугольника напряжений (вектор —jX_cI₂отстает по фазе от вектораR-J₂на тг/2) находится на полуок­ружности с диаметром, равным ЭДС Ё — Е.

При изменении сопротивления в пределах оо ^ ^ 0 фаза на­пряжения U₂i = ф₂ — Фз изменяется в интервале 0 ^ ^ -к.

Если в цепи на рис. 2.51, а емкостный элемент заменить индук­тивным, то вершина прямоугольного треугольника напряжений ф₂ будет находиться на полуокружности, симметричной полуокружно­сти на рис. 2.51, б, относительно оси действительных величин, а фаза напряженияU_2lбудет иметь отрицательное значение — -к ^ г|;_и ^ О при изменении сопротивления в пределах 0 ^ Д₃ ^ оо.

2.25. Частотные годограф и характеристики цепи

Частотным годографом называется совокупность геометричес­ких мест конца вектора, изображающего комплексную величину, при изменении угловой частоты в границах 0 ^ ои < оо.

Частотной характеристикой называется зависимость модуля вектора, изображающего комплексную величину, или его действи­тельной и мнимой составляющих от угловой частоты.

(2.87)

(2.88)

В качестве примера рассмотрим частотные годограф и характе^: ристики комплексного сопротивления (2.48) схем замещения с пос­ледовательным соединением резистивного и реактивного (индуктив­ного или емкостного) элементов (см. рис. 2.26, а и б). Эти комплек­сные сопротивления соответственно равны

Z = R + juL = ReZ + jlmZ

и

Z= Я-j-^= ReZ + jlmZ.

ReZ, ImZ

 

a

б

w = 0

—r ReZ ImZ

Za ReZ, ImZ

R

Рис. 2.53

На рис. 2.52 построены частотные годограф (а) и характеристи­ки (б) по выражению (2.87), а на рис. 2.53, а и б — подобные зависи­мости по выражению (2.88).

Аналогично строятся частотные годограф и характеристики пас­сивного двухполюсника. Частотные годограф и характеристики часто применяются при расчете цепей автоматизированных систем управ­ления технологическими процессами.

2.26. Пассивные четырех- и трехполюсники

Расчет рабочего режима многих электротехнических устройств упрощается, если их можно рассматривать как четырехполюсники (рис. 2.54), которые соединяются с остальной частью цепи двумя парами выводов (полюсов) 1—1'и2—2'. Если сам четырехполюс­ник не содержит источников энергии, то он называется пассивным, а

2'

о- 1

-о- 2 и2

П

2'

если содержит — активным. Примером активного четырехполюс­ника может служить дифференциальный усилитель, пассивного че­тырехполюсника — двухобмоточный трансформатор, линия теле­фонной связи, измерительный мост. Схема линейного пассивного четырехполюсника содержит только линейные резистивные, индук­тивные и емкостные элементы, нелинейного — также и одноимен­ные нелинейные элементы. Если две пары выводов соединяются только через цепь четырехполюсника, то его включение называется автономным, в противном случае — неавтономным.

Ограничимся в дальнейшем анализом пассивных линейных че­тырехполюсников при автономном включении.

Предположим, что к выводам 1—1' четырехполюсника присое­динен источник ЭДС Ё_ъ а к выводам 2 —2' — приемник с сопротив­лением нагрузкиZ_2h(рис. 2.54, а). Такое включение называют пря­мым питанием, выводы1—1' при этом называют входными, а2—2' — выходными.

Найдем зависимость между током и напряжениемU₁ = Ё_х на входе и током /₂ = -/„ и напряжениемU₂=Z_2iii_Hна выходе четы­рехполюсника. Противоположные направления токов на выходе че­тырехполюсникаi₂и в цепи нагрузки /_н соответствуют принятым направлениям в теории нелинейных четырехполюсников (см. гл. 6) и усилителей (см. гл. 10). Воспользовавшись принципом ком­пенсации (см. 1.13), заменим приемник с сопротивлением нагруз­киZ_2hисточником с ЭДС, направленной навстречу току и равной Ё₂ = Z₂J_H= U₂(рис. 2.54, б). В полученной схеме замещения действуют два источника ЭДС, и для определения токов на входе и выходе четырехполюсника можно применить метод наложения (см. 1.12):

h = ХпЁг + Х₁₂Ё₂=Y_nU_x+ Y_l2 U₂- 1 h — + ¥22^2 = X21U1 + Y₂₂U₂₁ J или в матричной форме

I = YU,

гдеY_nиY₂₂— собственные комплексные проводимости ветвей че­тырехполюсника, содержащих источники ЭДС Ё₁ и Ё₂; Y₁₂= Y₂₁— взаимная комплексная проводимость этих ветвей.

Комплексные проводимостиY_n, Y_22j Y₁₂иY_2lопределяются зна­чениями параметров элементов цепи четырехполюсника, и их мож­но измерить (см. 1.12).

В устройствах автоматики и радиотехники часто важно знать за­висимость от частоты отношений комплексных значений напряже­нияU₂и тока /₂ на выходе четырехполюсника к одноименным вели­чинам U_xи Д на его выходе.

Относительные изменения одноименных величин определяют­ся уравнениями четырехполюсника (2.89) и называются коэффици­ентом передачи напряжения

у21

(2.90а)

К =К taVJe-M = =              _

и коэффициентом передачи тока

I2Z-ф,

Z21 + КиХ.22

.2

(2.906)

12

Кг = £,(ы)еАИ = ^

^х Y_u+K₄Y_]

где

ВД = tyc/i,ВД = /₂/Л

— амплитудно-частотные характеристики;

0«М - - iki, e_t<w) = г|)д - -Фа,                    (2.916)

— фазочастотные характеристики напряжения и тока четырехпо­люсника.

Если один вывод входной и один вывод выходной цепей четы­рехполюсника соединены, то четырехполюсник представляет со­бой трехполюсник (рис. 2.55). Рассматри­вая трехполюсник как частный случай че­тырехполюсника, отметим его принципи­альное отличие от последнего. Оно заклю­чается в том, что элементы матрицы про- водимостей Y в (2.89) для трехполюсника не изменяются при его автономном (ключ 5 на рис. 2.55 разомкнут) и неавтономном f/                          2^f(ключSна рис. 2.55 замкнут) включениях.

16

О 2

Ik

П

I

В обоих случаях режим работы трехполюс- Рис. 2.55  ника определяется только значениями на­

пряжений и_г иU₂. Матрица проводимостей Y в (2.89) для четырехполюсника в об­щем случае зависит от схемы его включения, которая может влиять на режим его работы даже приU_x= const иU₂= const.

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 318; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!