Практ. зан. № 13 Тема 12 Определенный интеграл. Свойства . Формула Ньютона-Лейбница

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

1. А3[10] 2232, 2251, 2261, 2280, 2285

2. Образцы решения задач

2.1. Вычислить интеграл .

Решение. .

2.2. Вычислить интеграл .

Решение.

2.3. Вычислить интеграл .

Решение.

2.4. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Если меняется от 0 до 1, то переменная меняется от 0 до . На отрезке функция монотонна, непрерывна и имеет непрерывную производную. Применяя правило замены переменной в определенном интеграле, получим

2.5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , , тогда , . Тогда, применяя формулу интегрирования по частям, получим

(*)

Последний интеграл еще раз проинтегрируем по частям, положив , , , .

Возвращаясь к равенству (*), имеем

и, перенося интеграл в левую часть равенства, получим

, откуда .

3. Д3[10] 2233, 2245, 2264, 2279, 2286

Практ. зан. № 14 Тема 13 Приложение определенного интеграла.

1. А3 [10] 267, 2490, 2521, 2568, 2605, 2682

2. Образцы решения задач

2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

Решение. Рассмотрим уравнение параболы:

Отсюда видно, что парабола симметрична относительно прямой , ветвями направлена вниз и вершина ее лежит в точке (1,1).

Вычертим данную параболу и прямую.

Совместным решением уравнений параболы и прямой определим абсциссы точек и . Имеем

. Тогда

(кв.ед.).

Найти площадь фигуры, ограниченную первой аркой циклоиды

и отрезком оси абсцисс.

Решение. Начертим данную кривую

Точки и соответствуют значениям параметра и . Вычислим площадь фигуры:

(кв.ед.)

2.3. Вычислить площадь, ограниченную кривой (лемниската Бернулли).

Решение. Опишем кривую. Имеем при , т.е. кривая проходит через полюс. Из уравнения кривой видно, что полярный радиус принимает вещественные значения, когда . Тогда

, . При и имеем

, , откуда , .

Период функции равен , поэтому при замене на полярный радиус не изменяется, т.е. кривая симметрична относительно полюса . Кривая так же симметрична относительно полярной оси , т.к. для значений , отличающихся знаком, не изменяется. Начертим кривую.

Учитывая симметрию, вычислим площадь фигуры, расположенной в первой четверти, т.е. .

(кв.ед.).

2.4. Вычислить длину дуги кривой от начала координат до точки .

Решение. Из уравнения кривой находим: . Тогда длина дуги кривой равна:

2.5. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды , .(рис.1)

Решение.

Параметр изменяется от 0 до , так как точка описывает одну арку циклоиды при одном обороте круга. Из уравнения циклоиды находим

, ,

Тогда

2.6. Вычислить длину кардиоиды .

Решение. Так как кривая симметрична относительно полярной оси, то

при изменении от 0 до полярный радиус опишет половину кривой.

Вычислим . Тогда длина кардиоиды равна

2.7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси одной арки циклоиды

, .

Решение. Первой арке циклоида соответствует изменение параметра от до . Тогда

2.8. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 8 см., если известно, что для удлинения ее на 1см. необходимо приложить силу в 1кH.

Решение. Согласно закону Бука, сила , растягивающая пружину, пропорциональна ее растяжению, т.е. где растяжение пружины (в метрах); коэффициент пропорциональности. Так как по условию при сил , то из равенства получаем и Следовательно, искомая работа