Геометрические и физические приложения
Двойных интегралов
1. Площадь плоской фигуры D равна
(24.9)
где первый интеграл вычисляется в декартовой системе координат, а второй – в полярной.
2. Объем v цилиндрического тела V (рис. 24.16), ограниченного сверху поверхностью 
находят по формуле
(24.10)
где D – основание криволинейного цилиндра, а его образующие параллельны оси Oz.
Рис. 24.16
3. Для нахождения площади ограниченной части поверхности, заданной уравнением 
и имеющей проекцию 
на плоскость xOy, применяют формулу
(24.11)
где 
и 
– непрерывные в области 
функции.
4. Если f (x; y) – непрерывная функция, выражающая поверхностную плотность распределения массы по плоской пластине D, то масса m этой плоской пластины вычисляется по формуле
(24.12)
5. Для нахождения координат центра масс плоской материальной пластины D c поверхностной плотностью распределения массы, выражаемой функцией f (x; y), применяют следующие формулы:
(24.13)
где m – масса пластины D, вычисляемая по формуле (24.12).
Пример 1. Найти площадь области D, ограниченной указанными кривыми:
1) 
2) 
Решение. 1) Изобразим область D (рис. 24.17).
Рис. 24.17
| Она является правильной в направлении оси Oy. Найдем точки пересечения двух графиков, чтобы найти проекцию области на ось Ox:
Получаем: 
Найдем границы изменения координат интегрирования:  
Вычислим площадь области D по формуле (24.9)
|
2) Изобразим область интегрирования D (рис. 24.18).
|
|
|
Рис. 24.18
| Она является правильной в направлении оси Oy. Найдем точки пересечения двух графиков, ограничивающих область интегрирования, и определим границы изменения координат интегрирования:
Вычислим площадь области D по формуле (24.9):
|
Пример 2. Найти площадь области D, ограниченной указанными кривыми, используя полярные координаты:
1) 
(трехлепестковая роза);
2) 
(лемниската Бернулли).
Решение. 1) Изобразим шестую часть области интегрирования D (рис. 24.19).
Рис. 24.19
| Используем симметрию заданной области. Определим границы изменения переменных интегрирования (с учетом того, что мы рассматриваем шестую часть искомой площади):
|
Вычислим площадь области D по формуле (24.9), перейдя к полярным координатам:
(кв. ед.).
2) Запишем уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах: 
откуда 
Окончательно имеем: 
Изобразим четвертую часть области интегрирования D (рис. 24.20).
Рис. 24.20
| Используем симметричность области интегрирования. С учетом того, что мы рассматриваем четвертую часть искомой площади, определим границы изменения переменных интегрирования:
|
Вычислим площадь области D по формуле (24.9)
Пример 3. Используя двойной интеграл, вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями:
|
|
|
1) 
2) 
Решение. 1) Изобразим тело V (рис. 24.21), объем которого необходимо найти, и спроектируем его на плоскость xOy.
При этом мы получим плоскую область 
(рис. 24.22).
Определим границы интегрирования, исходя из области 
Применив формулу (24.10), получим:
Рис. 24.21
| 
Рис. 24.22
|
2) Найдем пересечение сферы с центром в точке (0; 0; 2) радиуса 2 и кругового параболоида, ограничивающих тело V: 
Следовательно, 
Окончательно имеем: 
Изобразим указанное тело V (рис. 24.23).
Рис. 24.23
Его проекцией 
на плоскость xOy будет являться круг с центром в начале координат радиуса 2. Запишем уравнение окружности 
ограничивающей область интегрирования 
в полярных координатах: 
Используем симметричность области 
Для ее четвертой части определим границы интегрирования в полярных координатах:
Выразим подынтегральные функции через полярные координаты, для чего используем формулы перехода (24.4). Получим уравнения: кругового параболоида 
и сферы 
Вычисляем объем тела V по формуле (24.10), представив это тело как разность между двумя криволинейными цилиндрами, один из которых ограничен сверху параболоидом, а другой – сферой:
|
|
|
Пример 4. Вычислить площадь поверхности 
при условии, что 
.
Решение. Изобразим часть плоскости 
лежащую в первом октанте, как того требует условие задачи (рис. 24.24).
Вычислим элемент площади по формуле 
(см. соотношение 24.11).
Рис. 24.24
а потому элемент площади будет иметь вид:
Спроектируем поверхность, площадь которой необходимо найти, на одну из координатных плоскостей (в данном случае – на плоскость xOy) и получим плоскую область 
ограниченную прямыми 
(рис. 24.25).
Рис. 24.25
| Определим границы изменения координат x и y, ориентируясь на область интегрирования
 .
Вычислим искомую площадь поверхности S по формуле (24.11):
|
(кв. ед.).
Пример 5. Вычислить площадь части кругового параболоида 
вырезаемого цилиндром 
Решение. Изобразим указанную поверхность (рис. 24.26).
Рис. 24.26
Ее проекцией на плоскость xOy будет круг. Найдем уравнение линии пересечения параболоида и цилиндра, ограничивающей этот круг: 
Таким образом, видим, что поверхность проектируется на круг 
Вычислим значение выражения 
из формулы (24.11).
В нашем случае: 
Следовательно, 
Итак, выражение имеет вид:
Вычислим искомую площадь поверхности по формуле (24.11), перейдя в двойном интеграле к полярным координатам по формулам (24.4):
|
|
|
(кв.ед.).
Пример 6. Найти массу плоской пластины D, ограниченной линиями 
если плотность распределения массы на пластине 
Решение. Изобразим пластину D (рис. 24.27).
Рис. 24.27
| Расставим пределы интегрирования, исходя из рисунка области D:  Найдем массу этой пластины по формуле (24.12):
|
Пример 7. Найти координаты центра масс плоской однородной пластины D, ограниченной линиями 
и 
Решение. Изобразим пластину D (рис. 24.28).
Рис. 24.28
| В уравнениях кривых, ограничивающих указанную область, выразим x через y, поскольку область является элементарной в направлении оси Ox. Из первого уравнения имеем:  т. е.  Из второго уравнения линии получаем: 
Определим границы изменения переменной y:  Учитывая симметричность отрезка изменения y, будем считать, что 
|
Найдем массу этой пластины по формуле (24.12):
Воспользуемся формулами (24.13) и вычислим сначала абсциссу, а затем и ординату центра масс пластины:
Таким образом, точка 
– центр масс данной пластины.
Задания
I уровень
1.1. Найдите площадь области D, ограниченной указанными кривыми:
1) 
2) 
3) 
4) 
1.2. Используя двойные интегралы, вычислите объем тела, ограниченного указанными поверхностями:
1.3. Вычислите площадь поверхности, ограниченной указанными кривыми:
1) 
2) 
1.4. Найдите массу плоской пластины, ограниченной указанными кривыми при заданной плотности распределения f (x; y):
1) 
2) 
II уровень
2.1. Найдите площадь области D, ограниченной указанными кривыми:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.2. Используя двойные интегралы, вычислите объем тела, ограниченного указанными поверхностями:
1) 
2) 
3) 
4) 
2.3. Вычислите площадь поверхности, ограниченной сферой 
и цилиндром 
2.4. Найдите массу плоской пластины, ограниченной указанными кривыми при указанных условиях, если известна поверхностная плотность распределения массы f (x; y):
1) 
2) 
2.5. Найдите координаты центра масс однородной плоской пластины D, ограниченной одной полуволной косинусоиды 
и осью абсцисс.
III уровень
3.1. Найдите площадь области D, ограниченной указанными кривыми.
1) 
–кардиоида;
2) 
3.2. Используя двойные интегралы, вычислите объем тела, ограниченного указанными поверхностями:
1) 
2) 
3.3. Найдите площадь поверхности части сферы 
вырезанной цилиндром 
3.4. Найдите массу плоской пластины, ограниченной указанными кривыми при указанных условиях, если известна поверхностная плотность распределения массы f (x; y):
1) 
2) 
3.5. Найдите координаты центра масс однородной плоской пластины D, ограниченной линиями 
и 
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!