В полярной системе координат
Если область интегрирования представляет собой круг или его часть, для упрощения производимых вычислений переходят к полярным координатам. Формулы перехода от декартовых координат x и y к полярным координатам 
и 
имеют вид:
(24.4)
где 
(или 
).
Формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам имеет вид:
(24.5)
где 
– область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат;
f (x; y) – функция, непрерывная в этой области.
Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах также переходят к повторному интегралу. При этом используют понятие области, правильной в полярной системе.
Область D называют правильной в полярной системе, если всякий луч, выходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает только одну (только один раз) «линию входа» и только одну (только один раз) «линию выхода».
В случае правильной области (рис. 24.12) верна формула
(24.6)
Рис. 24.12
| Если область интегрирования D ограничена эллипсом  или его частью, обосновано применение обобщенных полярных координат, переход к которым осуществляется по формулам:
|
(24.7)
Тогда
(24.8)
где – область в обобщенной полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.
Далее переходят к повторному интегралу.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями, используя полярные координаты:
|
|
|
1) 
2) 
3) 
Решение. 1) Прежде, чем вычислять интеграл, изобразим область интегрирования 
(рис. 24.13).
Рис. 24.13
| В полярной системе координат Op уравнение окружности  ограничивающей область  имеет вид:  т. е.  Окончательно получаем, что  откуда  Определим границы изменения координат и   
|
Область является правильной в полярной системе координат. Поэтому, воспользовавшись формулами (24.4) и (24.5) перехода от декартовых координат к полярным, перейдем к повторному интегралу по формуле (24.6):
2) Изобразим область интегрирования 
(рис. 24.14).
Рис. 24.14
| Воспользуемся формулами (24.4) перехода от декартовых координат к полярным координатам. В новой системе координат Op уравнение заданной окружности  ограничивающей область  принимает вид:  После сокращения имеем 
Определим границы изменения координат и
|
Воспользуемся формулой (24.6) перехода от двойного интеграла к повторному и вычислим его:
3) Изобразим область интегрирования 
(рис. 24.15).
Рис. 24.15
| Воспользуемся формулами (24.4) перехода от декартовых координат к полярным координатам. В новой системе координат Op уравнение заданной окружности  ограничивающей область  имеет вид:  Откуда  и окончательно 
|
Уравнение окружности 
в новой системе координат будет следующим: 
т. е. 
или 
|
|
|
Область является правильной, ее ограничивают линии 
и
Прямая 
имеет угловой коэффициент 
откуда находим уравнение луча 
Для уравнения прямой 
имеем 
Значит, границы изменения координат 
и 
таковы:
Перейдя к повторному интегралу по формуле (24.6), вычислим его:
Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулами понижения степени: 
и 
Задания
I уровень
1.1. Вычислите двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями, используя полярные координаты:
1) 
2) 
3) 
4) 
II уровень
2.1. Вычислите двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями, используя полярные координаты:
1) 
2) 
3) 
4) 
III уровень
3.1. Вычислите двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями, используя полярные координаты:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!