Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций
⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
5.
Частный случай :
- формула бинома Ньютона.
Приближенное значение функций:
,
, где - погрешность.
пп 12. Теоретические Упражнения | ||
ТУ ПП 12 №1 | Представьте функцию в виде многочлена третьей степени относительно . Решение: По формуле Маклорена получаем: , где . | |
ТУ ПП 12 №2 | Выяснить происхождение приближенных равенств а) ; б) . Решение: Равенства получаются из разложения функции по формуле Маклорена с точностью до слагаемых второго порядка: | |
ТУ ПП 12 №3 | Функция непрерывна, имеет на концах отрезка [-1,1] равные значения (проверьте!). Какова причина нарушения теоремы Ролля? Решение: Для функции по определению не существует , так как , . | |
пп 12. Дифференциал | ||
ПП 12. №1. | Найдите дифференциал функции при произвольном значении аргумента и при произвольном его приращении . РЕШЕНИЕ: , . | |
ПП 12. №2. | Найдите дифференциал 2-го порядка функции . РЕШЕНИЕ: . . | |
ПП 12. №3. | Найдите дифференциал неявно заданной функции . РЕШЕНИЕ: Дифференцируем равенство: , откуда . | |
ПП 12. №4. | Вычислите приближенное значение с помощью дифференциала. Решение: Рассмотрим функцию . Полагая и применяя формулу , получаем | 0,513 |
ПП 12. №5. | Вычислите приближенно . Решение: Пусть , где . Тогда ; . Применим формулу ; ; ; . Тогда . | 1,9938 |
ПП 12. №6. | Вычислите приближенно значение объема шара радиуса м. Решение: Так как , то, полагая, , и используя формулу для , получаем . |
Замечание. Здесь некоторые задачи ПП № 9 решены с помощью правила Лопиталя.
|
|
пп 12. пРАВИЛО лОПИТАЛЯ | ||
ПП 12. №7. | Раскройте неопределенность вида . Решение: . | |
ПП 12. №8. | Вычислите предел функции Решение: . . | |
ПП 12. №9. | Вычислите предел функции Решение: | |
ПП 12. №10. | Вычислите предел функции Решение: . | |
ПП 12. №11. | Вычислите предел функции Решение: . | |
ПП 12. №12. | Вычислите предел функции Решение: . | |
ПП 12. №13. | Вычислите предел функции Решение: | |
ПП 12. №14. | Вычислите предел функции Решение: | |
ПП 12. №15. | Раскройте неопределенность вида при вычислении предела последовательности: Решение: | |
ПП 12. №16. | Раскройте неопределенность типа . Решение: (Здесь правило Лопиталя применялось дважды). | |
ПП 12. №17. | Раскройте неопределенность типа | |
ПП 12. №18. | Вычислите предел . Решение: Имеем неопределенность типа . . Исследуем . Таким образом, исходный предел . | |
ПП 12. №19. | Вычислите предел: . Решение: Предел является неопределенностью типа . Преобразуем: . Дважды применяем правило Лопиталя. . | |
ПП 12. №20. | Вычислите . Решение: Имеем неопределенность типа .P Тогда . | |
ПП 12. №21. | Вычислите предел . Решение: Это неопределенность вида . Положим ; логарифмируем: Применяя правило Лопиталя, получим: . Таким образом, . |
пп 12. фОРМУЛА ТЕЙЛОРА | ||||
ПП 12. №22. | Многочлен разложите по степеням . Решение: ; ; . Найдем коэффициенты многочлена Тейлора: Учитывая, что ; ; , получим . | |||
ПП 12. №23. | Запишите формулу Маклорена n – го порядка для функции . Решение: ; ; . | |||
ПП 12. №24. | Используя формулы Маклорена для элементарных функций, напишите первые n членов формулы Маклорена для функции . Решение: Преобразуем исходную функцию: Окончательно: . | |||
ПП 12. №25. | Вычислите число e с точностью до 0,001. Решение: Запишем формулу Маклорена для e P x P: . При : . Наименьшее значение , удовлетворяющее условию , равно 6, | 2,718 | ||
ПП 12. №26. | Вычислите с точностью до 10P – 3P приближенное значение . Решение: Представим заданный корень так: . Воспользуемся формулой Маклорена: где последнее слагаемое представляет собой погрешность вычисления. Полагая получим . Оценивая величины последовательных ошибок в вычислении , находим: Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку R B 2 B, т.е. . | 3,072 | ||
ПП 12. №27. | Используя разложение по формуле Маклорена, вычислите предел Решение: ; C точностью до бесконечно малых о получаем: . Заменим его разложением по формуле Маклорена: о , тогда Поскольку ~ при . Окончательно . | |||
Дата добавления: 2015-12-21; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!