Задание 4. (Самостоятельная работа №1) Нахождение обратной матрицы методом Халецкого.

1. Найти обратную матрицу А^-1, используя матрицы В и С, вычисленные в задании 3.

2. Проверить правильность вычисления А^-1, используя определение обратной матрицы.

Задание 5. (Самостоятельная работа №2) Собственные вектора и собственные числа квадратных нормальных матриц.

1. Найти одно собственное число и соответствующий собственный вектор для нормальной матрицы, вычисленной в задании 2.

2. Проверить правильность вычислений на основе определения собственных чисел и собственных векторов.

Составить систему линейных уравнений для нахождения второго собственного числа и соответствующего собственного вектора. При составлении системы учесть свойство ортогональности собственных векторов нормальных матриц.

4.5. Решение одного варианта

4.5.1. Решить систему линейных уравнений

10 х₁ +2 х₂ + х₃ =13

х₁ +10 х₂ + х₃ =12 (4.24)

- х₁-х₂ +10 х₃ =8

с точностью ε=0,001.

Преобразуем систему (4.24) к виду:

х₁ =1,3 - 0,2 х₂ – 0,1 х₃

х₂ =1,2 – 0,1 х₁ – 0,1 х₃ (4.25)

х₃ =0,8 + 0,1 х ₁ + 0,1 х₂

Так как норма матрицы B системы (4.25) удовлетворяет неравенству ||В||<1 (по формуле 4.4), то согласно теореме 1 метод простых итераций для заданной системы сходится. На основе неравенства (4.6) определим величину || ||. Для этого найдем | |В ||=0,3. Тогда || ||£ . За нулевое приближение решения системы (4.24) примем: х₁⁰ =1,3; х₂⁰ =1,2; х₃⁰ =0,8. Подставляя эти значения и последующие найденные приближения в (4.3), получим последовательность итераций, которая приведена в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Решение системы линейных уравнений методом простых итераций

Номер итерации i
х_i^к	1,3	0,98	0,997	1,0009	0,99994
х₂^к	1,2	0,99	0,997	1,0006	0,99997
х₃^к	0,8	1,05	0,997	0,9994	1,00015

Из табл. 4.1 видно, что || х⁴- х³ ||£0,002, это означает, что приближение х⁴ имеет предельную абсолютную погрешность 0,005.

Ответ: 0,99989 £ х₁ £ 0,99999

0,99972 £ х₂ £ 1,00002

1,0001 £ х₃ £ 1,00020.

4.5.2. Решить систему линейных уравнений (4.24) методом Зейделя.

Для этого преобразуем систему к сходящемуся виду по формуле теоремы 3 (А^Т×А×х= А^Т×в). Эквивалентная нормальная система для СЛАУ (4.24) имеет вид:

102 ×х₁+ 31 ×х₂+х₃= 134

31× х ₁+105× х₂ +2 х₃ =138 (4.26) х₁ +2 х₂ +102× х₃ =105.

Приведем систему (4.26) к виду (4.2):

(4.27)

За нулевое приближение возьмем вектор х⁰ = {1,314; 1,314; 1,029}. Последующие приближения получаются по формулам (4.7) и приведены в табл.4.2.

Таблица 4.2

Решение системы линейных уравнений методом Зейделя

Номер итерац. i
х_i^к	1,3137	0,90419	0,99157	0,99925	0,99993
х₂^к	1,3143	1,02773	1,00248	1,00022	1,00002
х₃^к	1,0294	1,00040	1,00003	1,00000	1,00000

|| х⁴-х³ ||=0,0002.

4.5.3. Решить систему линейных уравнений (4.24) методом Халецкого.

Результаты расчётов, для удобства, сведены в таблицу (табл.4.3). А теперь рассмотрим формулы (4.9), (4.10) при n =3. По равенствам _i₁= _i₁, i =1, 2, 3 находится первый столбец матрицы В. Затем по формулам с ₁_j_{= ,} j = 2, 3 вычисляется первая строка матрицы С. Второй столбец матрицы В находим по формулам:

b _i₂ = а _i₂– b_i₁ × с ₁₂, i =2, 3.

Таблица 4.3

Решение системы линейных уравнений методом Халецкого

x₁

x₂

x₃

х₁

х₂

x₃

∑

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₁₄

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₂₄

a₃₁

a₃₂

a₃₃

a₃₄

-1

b₁₁

c₁₂

c₁₃

c₁₄

0.200

0.100

1.3000

2.600

b₂₁

b₂₂

c₂₃

c₂₄

1.0000

9.8

0.0918

1.0918

2.1837

b₃₁

b₃₂

b₃₃

c₃₄

-1.0000

-0.8000

10.1735

0.9795

2.0000

III

y₁

x₁

1.3000

1.0000

y₂

x₂

1.0918

1.0000

y₃

x₃

1.0000

Элементы второй строки матрицы В вычисляются из соотношений:

с ₂_j= , j=3, 4, 5.

4.5.4. Найти матрицу А^-1 методом Халецкого (Самостоятельная работа №1)

Для матрицы системы (4.24) обратная матрица имеет вид:

Проверка правильности вычисления А^-1 по формуле (4.14) показывает, что матрица вычислена с высокой точностью.

Формулы (4.19) для i=3, n=3 имеют вид:

d₃₁×b₁₁+d₃₂×b₂₁+d₃₃×b₃₁=0

d₃₂×b₂₂+b₃₃×b₃₂=0

d₃₃×b₃₃=1

Решается эта система, начиная с последнего уравнения. Далее используется (4.20) при n=3 и j=3:

d₂₃+d₃₃×c₂₃=0

d₁₃+d₂₃×c₁₂+d₃₃×c₁₃=0.

4.4.5. Найти l₁ и х¹ матрицы А^т×А (Самостоятельная работа №2)

В примере рассматривается матрица А^т×А, т.к. она нормальная. Система (4.22) при n=3, x₃=1 и матрице системы (4.26) имеет вид:

x₁¹=1/l₁(102×x₁¹+31×x₂¹+1)

x₂¹=1/l₁(31×x₁¹+105x₂¹+2)

l₁= (x₁¹+2×x₂¹+102).

Решение её методом простых итераций даёт l₁=134,6760 x¹={10,5338; 11,0711; 1,0000}. Проверка правильности вычислений по формуле (4.21) показывает, что в l₁и x¹все приведённые знаки верные.

4.6. Вопросы для самопроверки знаний

по лабораторной работе № 2

1.Что называется системой линейных алгебраических уравнений?

2. Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?

3. Сформулируйте теорему существования и единственности решения системы линейных алгебраических уравнений.

4. Какой алгоритм решения СЛАУ называется итерационным или приближённым?

5. Какой алгоритм решения СЛАУ называется точным?

6. Какова точность итерационных методов решения СЛАУ?

7. Какова точность точных методов решения СЛАУ?

8. Сформулируйте теорему сходимости метода простых итераций.

9. Можно ли остановить в автоматическом режиме процесс простых итераций при достижении приближения заданной точности?

10. Можно ли оценить точность приближения, найденного методом простых итераций за определённое число итераций?

4.7. Вопросы для самопроверки знаний

по лабораторной работе № 3

1. В чём суть метода Зейделя?

2. Сформулируйте теорему сходимости метода Зейделя.

3. Можно ли остановить в автоматическом режиме процесс Зейделя при достижении приближения заданной точности?

4. Можно ли оценить точность приближения, найденного методом Зейделя за определённое число итераций?

5. Какая система линейных алгебраических уравнений называется нормальной?

6. Как привести систему линейных алгебраических уравнений к нормальному виду?

7. Метод Зейделя точный или приближённый и почему?

8. Какая матрица называется положительно определённой?

9. Какая матрица называется симметричной?

10. Сравните по вычислительной сложности метод Зейделя и метод простых итераций.

4.8. Вопросы для самопроверки знаний

по лабораторной работе № 4

1. В чём суть метода Халецкого?

2. Метод Халецкого точный или приближённый и почему?

3. На каком свойстве квадратных матриц основан метод Халецкого?

4. Как проверить точность решения СЛАУ, найденного методом Халецкого?

5. Можно ли уточнить решение системы линейных алгебраических уравнений, найденного методом Халецкого, если точность решения недостаточна?

6. Возможен ли контроль правильности расчётов в процессе нахождения решения СЛАУ методом Халецкого и, если возможен, то какой?

7. Для систем линейных уравнений с какими свойствами матриц рекомендуется применять метод Халецкого?

8. В чём преимущество или недостатки метода Халецкого по сравнению с методом Гаусса?

9. Сравните по вычислительной сложности метод Халецкого и метод простых итераций.

10. Сравните по точности метод Халецкого и метод простых итераций.

4.9. Вопросы для самопроверки знаний

по самостоятельной работе № 1

1.Какая матрица называется обратной?

2. Для каких матриц существуют обратные матрицы?

3. Метод Халецкого нахождения решения СЛАУ точный или приближённый и почему?

4. Метод Халецкого нахождения обратной матрицы точный или приближённый и почему?

5. Каков порядок систем линейных алгебраических уравнений, из которых находятся элементы обратной матрицы?

6. Как проверить точность обратной матрицы, найденной методом Халецкого?

7. На каком свойстве квадратных матриц основан метод Халецкого нахождения обратной матрицы?

4.10. Вопросы для самопроверки знаний

по самостоятельной работе № 2

1.Дайте определение собственного вектора квадратной матрицы.

2. Дайте определение собственного числа квадратной матрицы.

3. Какими свойствами обладают собственные элементы квадратной нормальной матрицы?

4. Сформулируйте теорему существования собственных векторов квадратных матриц.

5. На каком свойстве собственных элементов квадратной матрицы основан использованный в работе алгоритм их нахождения?

6. Какая матрица называется нормальной?

7. Как проверить является ли матрица положительно определённой?

8. Как проверить точность найденных собственных элементов квадратной матрицы?

9. Каким важным свойством обладают СЛАУ, из которых находятся собственные элементы квадратной нормальной матрицы?

10. Почему собственные векторы квадратной нормальной матрицы определяются с точностью до множителя пропорциональности?

5. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ЛАБОРАТОРНЫХ И

САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

Лабораторные и самостоятельные занятия оцениваются в два этапа:

1.Проведение непосредственно самой лабораторной работы.

2.Защита теоретических знаний, относящихся к лабораторной работе.

Лабораторные занятия оцениваются по пятибалльной системе:

· Оценка в «5 баллов» выставляется в том случае, когда студент глубоко и прочно освоил суть лабораторной работы, умеет тесно связывать теорию с практикой. Лабораторная работа выполнена без каких-либо нарушений, теоретическая часть изложена исчерпывающе полно, последовательно, чётко и логически стройно.

· Оценка в «4 балла» выставляется тогда, когда студент освоил суть лабораторной работы, при проверке которой не было обнаружено каких-либо грубых нарушений. Теоретическая часть изложена грамотно, без существенных неточностей.

· Оценка в «3 балла» выставляется в том случае, если студент имеет знания основного теоретического материала, но не усвоил его деталей. В ходе лабораторной работы обнаружены какие-либо неточности.

· Оценка в «2 балла» выставляется в том случае, когда студент не знает значительную часть или вообще не знает теоретический материал. Лабораторные работы проводились неуверенно и с большими затруднениями, а при защите теоретических знаний допущены существенные ошибки.

6. ЛИТЕРАТУРА

1. Основы вычислительной математики [Текст]: Учебное пособие. / Демидович Б.П., Марон И.А. – СПб.: Издательство «Лань», 2011. – 672с.

2. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения [Текст]: Учебное пособие. / Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. / Под ред. Б.П. Демидовича – СПб.: Издательство «Лань», 2010. – 400с.

3. Численные методы [Текст]: Учебное пособие. / Волков Е.А.. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 256 с.

4. Методы вычислительной математики [Текст]: Учебное пособие. / Марчук Г.И. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 608с.

5. Вычислительная математика в примерах и задачах [Текст]: Учебное пособие. / Копчёнова Н.В., Марон И.А. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 368с.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение.................................................. …3

2. Правила техники безопасности при проведении

лабораторных и самостоятельных работ.......................... …3

3.Теория погрешностей...........................................4

3.1. Цель работы........................................ …..4

3.2. Основные теоретические положения.......................4

3.3. Варианты заданий …………….............................9

3.4. Порядок выполнения заданий............................ 13

3.5. Решение одного варианта............................... 14

3.6. Вопросы для самопроверки знаний

по лабораторной работе №1 ………..…........................... …15

4. Линейная алгебра.............................................16

4.1. Цель работы................ …......................... 16

4.2. Основные теоретические положения..................... 16

4.3. Варианты заданий......................................21

4.4. Порядок выполнения заданий.............................23

4.5. Решение одного варианта................................24

4.6. Вопросы для самопроверки знаний

по лабораторной работе № 2 …………................................27

4.7. Вопросы для самопроверки знаний

по лабораторной работе № 3 …………................................28

4.8. Вопросы для самопроверки знаний

по лабораторной работе № 4 ….………..............................28

4.9. Вопросы для самопроверки знаний

по самостоятельной работе № 1…………............................28

4.10. Вопросы для самопроверки знаний

по самостоятельной работе № 2…………............................29

5. Критерии оценки лабораторных и самостоятельных работ......... 26

6. Литература............................................... ….30

Учебное издание

Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 35; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 34

Мы поможем в написании ваших работ!