Задача о делении окружности на равные части
Теперь обратимся к восьмому из перечисленных в разделе 1 пунктов, — именно, к задаче о делении окружности на равные части. Я буду при этом считать, что действия над комплексными числами вида 
и изображение их на так называемой «комплексной плоскости» всем вам уже известны. Итак, задача заключается в том, чтобы разделить окружность на 
равных частей или построить правильный 
-угольник.
Мы возьмем окружность радиуса 1 с центром в нулевой точке комплексной плоскости и примем точку 
за первую из 
точек деления; тогда комплексные числа, соответствующие остальным вершинам, имеют вид (рис. 11)
Они удовлетворяют поэтому уравнению
и задача о делении окружности на равные части сводится к решению этого простейшего алгебраического уравнения. Так как это уравнение имеет рациональный корень 
то двучлен 
делится на 
и потому мы для остальных корней получаем уравнение
Рис. 11
Это есть уравнение 
степени, в котором все коэффициенты равняются единице.
Уже в глубокой древности вызывал большой интерес вопрос о том, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой. В древности же было уже известно, что при 
(где h — произвольное целое число), а также для составных значений 
эта задача решается; на этом месте вопрос остановился вплоть до конца XVIII столетия, когда им занялся молодой Гаусс. Он нашел, что для всех простых 
имеющих вид
возможно деление окружности на равные части циркулем и линейкой; при других же простых значениях 
оно невозможное. И действительно, первые значения 
дают в этой формуле простые числа 3, 5, 17, 257, 65 537. Из них первые два случая были уже хорошо известны раньше, а остальные являются новыми. Особенно знаменит правильный семнадцатиугольник, возможность построения которого посредством циркуля и линейки была в этом сочинении в первый раз обнаружена.
|
|
|
Впрочем, общий вопрос о том, при каких значениях показателя 
предыдущая формула дает именно простые числа, остается и по сей день нерешенным. Я и здесь не буду останавливаться на деталях, а предпочту изложить в общих чертах ход и значение этого открытия; подробности же относительно правильного семнадца-тиугольника вы найдете в книге Вебера и Вельштейна.
По этому поводу я считаю необходимым особенно обратить ваше внимание на «Дневник» Гаусса, опубликованный в томе 57 журнала «Mathematische Anna-len» (1903) и в томе X, I полного собрания сочинений Гаусса (1917). Это небольшая, невзрачная тетрадка, которую Гаусс начал вести с 1796 г., незадолго перед тем, как ему исполнилось 19 лет. Как раз первая запись относится к вопросу о возможности построения правильного семнадцатиугольника. Сделав так рано это важное открытие, Гаусс принял окончательное решение посвятить себя математике. Всякому математику будет очень интересно просмотреть этот дневник, так как здесь можно проследить и за дальнейшими выдающимися работами Гаусса, относящимися к теории чисел, к теории эллиптических функций и т. д.
|
|
|
В первый раз это первое крупное открытие Гаусса было опубликовано 1 июня 1796 г. Это было сделано по почину учителя и покровителя Гаусса, Циммермана из Брауншвейга, который поместил также и от себя короткую заметку об этой статье. Доказательство Гаусс дал в своем основном сочинении по теории чисел: «Disquisitiones arithmeticae», опубликованном в 1801 г.
Здесь мы находим также и вторую, отрицательную часть предложения, которой в упомянутой заметке не было, — именно, что для других простых чисел, которые не могут быть приведены к виду (6), деление окружности на равные части не может быть произведено циркулем и линейкой. Я хочу рассмотреть здесь один частный случай этого важного доказательства невозможности, тем более, что широкая математическая публика имеет очень мало представления о доказательствах невозможности вообще. Современной математике удалось при помощи такого рода доказательств невозможности исчерпать целый ряд знаменитых проблем, над которыми с древних времен тщетно трудились многие выдающиеся математики.
|
|
|
Достаточно указать на задачи о построении правильного семиугольника, о трисекции угла и о квадратуре круга. При всем том имеется много людей, которые и по сей день занимаются этими задачами, не только не имея никакого представления о высшей математике, но и не зная даже постановки вопроса о доказательстве невозможности; сообразно своим познаниям, ограничивающимся большей частью элементарной геометрией, они обыкновенно пытаются преодолеть затруднения вспомогательными прямыми и окружностями и в конце концов нагромождают их в таком количестве, что никто не в состоянии разобраться в получающейся путанице и непосредственно указать автору на его ошибку. Вы напрасно будете ссылаться на существующее доказательство невозможности, так как на этих людей в лучшем случае можно повлиять только прямым указанием допущенной ими ошибки. Каждый сколько-нибудь известный математик каждый год получает целую уйму такого рода посланий, и вы будете получать такие доказательства в большом количестве, когда будете стоять у дела. Очень хорошо, чтобы вы впредь были готовы к этим переживаниям и знали, как себя в этом отношении держать. Я полагаю поэтому, что вам будет полезно ознакомиться с одним из таких доказательств невозможности в простейшей форме.
|
|
|
№2
Задачи
Постройте с помощью линейки И угольника правильный шестиугольник, вершины которого будут лежать на горизонтально расположенной центровой линии.
1. Построение окружности с помощью циркуля
2.
Деление окружности на равные части транспортиром
3.
Деление окружности на равные части по таблице хорд
ТАБЛИЦА ХОРД
| Число делений на окружности | Длина хорды |
| 3 | 1,732 * R |
| 4 | 1,414 * R |
| 5 | 1,176 * R |
| 6 | 1,000 * R |
| 7 | 0,868 * R |
| 8 | 0,765 * R |
| 9 | 0,684 * R |
| 10 | 0,616 * R |
| 11 | 0,564 * R |
| 12 | 0,518 * R |
| 13 | 0,479 * R |
| 14 | 0,445 * R |
| 15 | 0,416 * R |
| 16 | 0,390 * R |
| 17 | 0,368 * R |
| 18 | 0,347 * R |
| 19 | 0,329 * R |
| 20 | 0,313 * R |
| 21 | 0,298 * R |
| 22 | 0,285 * R |
| 23 | 0,272 * R |
| 24 | 0,261 * R |
| 25 | 0,251 * R |
| 26 | 0,241 * R |
| 27 | 0,232 * R |
| 28 | 0,224 * R |
| 29 | 0,216 * R |
| 30 | 0,209 * R |
№3
Интегрированный урок (черчение + геометрия) "Деление окружности на равные части"
Цель: Показать учащимся необходимость применения геометрических построений при выполнении чертежей детали. Дать знания по теме «Деление окружности на равные части.
Задачи:
· Научить делить окружность на равные части.
· Развивать наблюдательность, умение мыслить логически.
· Воспитывать внимательность и аккуратность в выполнении чертежей.
Тип урока: Урок изучения нового материала
Методы проведения: беседа, графические построения, рассказ с демонстрацией, упражнения.
Оборудование для учителя: Модели технических деталей, иллюстрации примеров применения геометрических построений (диск CD-RW), ПК, шаблоны и карточки – задания.
Оборудование для учащихся: Учебник, тетрадь, чертёжные инструменты.
План урока
1. Организационная часть (3 м.)
2. Объяснение нового материала (18м.)
3. Закрепление изученного материала (12м.)
4. Подведение итогов (5м.)
5. Домашнее задание (2м.)
Ход урока
Дата добавления: 2015-12-19; просмотров: 13; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!