Вопрос 15) центр масс. Движение центра масс

Рассмотрим т.С, положение которой определяется радиус-вектором:

центр масс, m – масса системы.

Декартовы координаты центра масс равны проекциям rc на координатные оси:

Таким образом, центр масс движется так, как двигалась бы МТ с массой, равной массе системы под действием результирующей всех внешних сил, приложенных к телам системы. Замкнутая система Þас = 0, т.е. центр масс такой системы движется прямолинейно и равномерно либо покоится.

Система отсчета, относительно которой центр масс покоится – система центра масс (ц-система). Данная система – инерциальная.

Закон сохранения импульса

уравнение движения центра масс.

Вопрос 16) Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

, где: mi — масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,где: — масса малого элемента объёма тела , — плотность,

— расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра
Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массойm	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Вопрос 17) Вычислить момент инерции однородного диска толщиной. З а элементарную массу бесконечно тонкого цилиндра радиусом r, толщиной dr и высотой д примем .

Тогда момент инерции диска

Учитывая, что масса всего диска ,

получим .

Итак, момент инерции – это аналог массы и является мерой инерции вращающегося тела. Однако масса тела не зависит от характера движения, а значение момента инерции зависит от того, относительно какой оси он вычисляется. Если известен момент инерции тела относительно какой-либо оси. О, то момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии R, можно вычислить, используя теорему Штейнера: .

Вопрос 18) Теорема Гюйгенса — Штейнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астронома Христиана Гюйгенса): момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: где: