Вопрос 9) Закон сохранения энергии в механике
Формулировка:Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.
Проще говоря, при отсутствии диссипативных сил (например, сил трения) механическая энергия не возникает из ничего и не может исчезнуть никуда.
Примеры: Классическим примером этого утверждения являются пружинный или математический маятники с пренебрежимо малым затуханием. В случае пружинного маятника в процессе колебаний потенциальная энергия деформированной пружины (имеющая максимум в крайних положениях груза) переходит в кинетическую энергию груза (достигающую максимума в момент прохождения грузом положения равновесия) и обратно. В случае математического маятника аналогично ведёт себя потенциальная энергия груза в поле силы тяжести.
Вывод из уравнений Ньютона
Закон сохранения механической энергии может быть выведен из второго закона Ньютона, если учесть, что в консервативной системе все силы, действующие на тело,потенциальны и, следовательно, могут быть представлены в виде 
, где 
— потенциальная энергия материальной точки (
— радиус-вектор точки пространства). В этом случае второй закон Ньютона для одной частицы имеет вид 
, где 
— масса частицы, 
— вектор её скорости. Скалярно домножив обе части данного уравнения на скорость частицы и приняв во внимание, что 
, можно получить 
Путём элементарных операций это выражение может быть приведено к следующему виду 
|
|
|
Отсюда непосредственно следует, что выражение, стоящее под знаком дифференцирования по времени, сохраняется. Это выражение и называется механической энергией материальной точки. Первый член в сумме отвечает кинетической энергии, второй — потенциальной.
Этот вывод может быть легко обобщён на систему материальных точек
Вопрос 10) Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.
При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.
Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя.
Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.
В общем случае массы m1 и m2 соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии 
Здесь υ1 – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ2 = 0, u1 и u2 – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде: m1υ1 = m1u1 + m2u2 Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u1 и u2 шаров после столкновения: 
|
|
|
В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m1 = m2), первый шар после соударения останавливается (u1 = 0), а второй движется со скоростьюu2 = υ1, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).
Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ2 ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ2 относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ1' = υ1 – υ2. Определив по приведенным выше формулам скорости u1 и u2 шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.
Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.
Вопрос 11) Удар — толчок, кратковременное взаимодействие тел, при котором происходит перераспределение кинетической энергии. Часто носит разрушительный для взаимодействующих тел характер. В физике под ударом понимают такой тип взаимодействия движущихся тел, при котором временем взаимодействия можно пренебречь.
|
|
|
Нецентральный упругий удар шаров
Рассмотрим задачу о нецентральном ударе двух одинаковых шаров m1=m2, со скоростями v1 и v2 = 0.
Закон сохранения энергии запишется: 
Закон сохранения импульса: 
Возведем в квадрат это векторное уравнение: 
Где 
-угол между векторами скоростей.
Вычитая из последнего равенства 
получим: 
Откуда следуют два решения: 
и 
Вывод: при любом нецентральном упругом соударении двух одинаковых шаров угол их разлета равен 
Вопрос 12) Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F
Здесь М - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы
где α - угол между r и F; rsinα=l - наименьшее расстояние между линией действия силы и точкой О - плечо силы.
|
|
|
Основным законом динамики вращательного движения является связь момента силы М с моментом инерции 
и угловым ускорением β: 
Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.
Момент импульса 
частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса: 
где 
— радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, 
— импульс частицы.
Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов: 
где 
— радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.
(В пределе количество частиц может быть бесконечным, например, в случае твердого тела с непрерывно распределенной массой или вообще распределенной системы это может быть записано как 
где 
— импульс бесконечно малого точечного элемента системы).
В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.
Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется: 
.
Замечание: в принципе момент импульса может быть вычислен относительно любого начала отсчета (получившиеся при этом разные значения связаны очевидным образом); однако чаще всего (для удобства и определенности) его вычисляют относительно центра масс или закрепленной точки вращения твердого тела итп).
Вопрос 13) Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела. Для каждой материальной точки можно записать: 
, где 
, поэтому 
.Умножая левую и правую части уравнения на ri, получают 
, где 
– момент силы – это произведение силы 
на ее плечо 
. Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы 
. 
– момент инерции i-й материальной точки. Выражение можно записать так: 
. Просуммируем левую и правую части по всем точкам тела: 
. Обозначим 
через М, а 
через J, тогда. 
– основной закон динамики вращательного движения твердого тела
Вопрос 14) Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.
Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.
Если система замкнутая, (т.е. 
), то 
, 
Момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным, если сумма моментов внешних сил равна 0. (справедливо и для проекции 
на некоторую ось z). В основе закона – изотропность пространства.
Дата добавления: 2015-12-18; просмотров: 159; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!