Системы счисления. Правила перевода из одной системы счисления в другую
Система счисления(далее СС) - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.
Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,:,9. Способов записи чисел цифровыми знаками существует бесчисленное множество. Любая предназначенная для практического применения СС должна обеспечивать:
o возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
o единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
o простоту оперирования числами;
В зависимости от способов изображения чисел цифрами, системы счисления делятся на непозиционные и позиционные. Непозиционной системой называется такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ей позиции в изображении числа (римская система счисления). Позиционной системой счисления называется такая, в которой количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе (арабская система счисления). Количество знаков или символов, используемых для изображения числа, называется основанием системы счисления.
Позиционные системы счисления имеют ряд преимуществ перед непозиционными: удобство выполнения арифметических и логических операций, а также представление больших чисел, поэтому в цифровой технике применяются позиционные системы счисления.
Запись чисел может быть представлена в виде
|
|
|
,
где A(D) - запись числа A в СС D;
Di - символ системы, образующие базу.
По этому принципу построены непозиционные СС. В общем же случае системы счисления: A(B)=a1B1+a2B2 +...+anBn. Если положить, что Bi=q*Bi-1, а B1=1, то получим позиционную СС. При q=10 мы имеем дело с привычной нам десятичной СС.
На практике также используют другие СС:
Каждая СС имеет свои правила арифметики (таблица умножения, сложения). Поэтому, производя какие-либо операции над числами, надо помнить о СС, в которой они представлены.
Если основание системы q превышает 10, то цифры, начиная с 10, при записи обозначают прописными буквами латинского: A,B,...,Z. При этом цифре 10 соответствуею знак 'A', цифре 11 - знак 'B' и т.д. В таблице ниже приводятся десятичные числа от 0 до 15 и их эквивалент в различных СС:
В позиционной СС число можно представить через его цифры с помощью следующего многочлена относительно q: A=a1*q0+a2*q1+...+an*qn (1) Выражение (1) формулирует правило для вычисления числа по его цифрам в q-ичной СС. Для уменьшения количества вычислений пользуются т.н. схемой Горнера. Она получается поочередным выносом q за скобки: A=(...((an*q+an-1)*q+an-2)*q+...)*q+a1 результат вычисления многочлена будет всегда получен в той системе счисления, в которой будут представлены цифры и основание и по правилам которой будут выполнены операции.
|
|
|
Правила перевода целых чисел
Результатом является целое число.
1. Из десятичной системы счисления - в двоичную и шестнадцатеричную:
o исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (2 или 16); получается частное и остаток;
o если полученное частное не делится на основание системы счисления так, чтобы образовалась целая часть, отличная от нуля, процесс умножения прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
o все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
o формируется результирующее число: его старший разряд - полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа - первый остаток от деления, а старший - последнее частное.
2. Из двоичной и шестнадцатеричной систем счисления - в десятичную. В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле.
|
|
|
3. Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную:
o исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;
o каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей
4. Из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную:
o каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;
o незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.
Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 133; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!