Свойства производных высших порядков

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

ТЕОРЕМА. Пусть функции , имеют производные -го порядка в точке , тогда функции , также имеют производные -го порядка в точке , причем

, (3)

, (4)

где обозначает число сочетаний из элементов по , . Формула (4) называется формулой Лейбница.

Следствие. Если – постоянная, а – функция, имеющая производную -го порядка в точке , то и функция также имеет производную порядка в точке , причем

. (5)

Далее рассмотрим производные высших порядков от сложных функций. Вначале рассмотрим производную второго порядка.

Пусть функция имеет вторую производную в точке , а функция имеет вторую производную в точке . Тогда в некоторой окрестности точки существует сложная функция , которая также имеет в точке вторую производную, причем

. (6)

Покажем справедливость данного выражения. Поскольку существуют производные и , то существуют производные и . Следовательно, функции и в точках и непрерывны. Поэтому в некоторой окрестности точки имеет смысл сложная функция . Дифференцируя ее и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем

Вычисляя вторую производную, получаем

что соответствует (6).

Аналогичным образом вычисляются производные высших порядков сложной функции. Однако в виду громоздкости соответствующие формулы мы приводить не будем.

Найдем выражение производной 2-го порядка от обратной функции. Пусть в некоторой окрестности точки функция определена, непрерывна и строго монотонна и пусть в точке существуют производные и , причем . Тогда обратная функция также имеет вторую производную в точке , причем она может быть выражена через производные и функции в точке .

Как известно, . Вычисляя произвольную по от обеих частей и вычисляя ее от правой части по правилу сложной функции, получим

. (7)

Аналогично при соответствующих предположениях вычисляются и производные высших порядков для обратной функции.

Далее рассмотрим функции , заданные параметрически:

, .

Тогда, если существуют производные и , то существует и производная , причем

. (8)

По аналогии с понятием производной можно рассмотреть и дифференциалы высших порядков. Будем для удобства использовать в некоторых случаях вместо символа дифференцирования символ , а , –выражения , .

Пусть функция дифференцируема на некотором интервале . Ее дифференциал

является функцией двух переменных: точки и переменной . Если функция также дифференцируема в некоторой точке , то дифференциал от функции в этой точке при фиксированном , принимает вид