Требования к уровню освоения содержания курса.

Организационно-методический раздел.

Название курса.

Вычислительные методы линейной алгебры.

Направление - математика

Раздел - общие математические и естественно-научные дисциплины

Компонент -

Цели и задачи курса.

Дисциплина "Вычислительные методы линейной алгебры" предназначена для студентов второго курса механико-математических факультетов университетов.

Основной целью освоения дисциплины является изучение студентами теоретических основ построения и применения на практике методов решения систем линейных алгебраических уравнений и спектральных задач.

Для достижения поставленной цели выделяются задачи курса:

1) изучение теоретической части курса в соответствии с программой

2) решение цикла задач по курсу в соответствии с программой

3) реализация методов на ЭВМ и сдача вычислительного практикума

6) сдача экзамена в соответствии с учебным планом.

Требования к уровню освоения содержания курса.

По окончании изучения указанной дисциплины студент должен
- иметь представление о месте и роли изучаемой дисциплины среди других наук;
- знать содержание программы курса, формулировки задач, условия применимости и характеристики вычислительных методов решения задач линейной алгебры;
- уметь определять применимость конкретных вычислительных методов для решения систем линейных алгебраических матриц и спектральных задач для симметричных матриц, реализовывать методы в виде программ для ЭВМ.

Формы контроля

Итоговый контроль. Для контроля усвоения дисциплины учебным планом предусмотрен зачет и экзамен.

Текущий контроль. В течение семестра выполняются домашние задания и контрольные работы. Выполнение указанных видов работ является обязательным для всех студентов.

Содержание дисциплины.

Новизна.

Курс "Вычислительные методы линейной алгебры" является традиционной дисциплиной математической подготовки студентов; его новизна состоит в том, что классический материал по этой дисциплине весьма обширен, а изложение его теоретических основ за 36 лекционных часов требует тщательного отбора тем и методов прежде всего удовлетворяющих критерию их использования на ЭВМ для решения широкого круга задач. Курс характеризуется математической строгостью изложения, большим числом предлагаемых теоретических и практических задач и упражнений.

Тематический план курса.

Наименование разделов и тем	К о л и ч е с т в о ч а с о в
Лекции	Семинары	Лаборатор- ные работы	Самостоятель-ная работа	Всего часов
Вычислительные методы линейной алгебры
Итого по курсу:

Содержание отдельных разделов и тем.

Вычислительные методы линейной алгебры

1. Традиционные задачи линейной алгебры.

1.1. Методы их решения, ос­нованные на теории определителей.

1.2. Оценка количества арифметических действий и времени, необходимых для их реализации. Катастрофичес­кое влияние ошибок округления на конечный результат (пример).

1.3. Векторные и матричные нормы, согласованные и подчиненные нормы.

1.4. Число обусловленности матрицы.

1.5. Оценка возмущения решения системы линейных алгебраических уравнений при возмущении правой части и матрицы.

2. Прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

2.1. Метод исключения неизвестных (метод Гаусса).

2.2. Теорема о разложении квадратной матрицы в произведение нижней и верхней треуголь­ных матриц.

2.3. Теорема о LDU - разложении квадратной матрицы.

2.4. Схема единственного деления.

2.5. Разложение Холесского, метод квадратного корня: устойчивость к ошибкам округления при вычислении разложения (число обусловленности сомножителя).

2.6. Выбор главного элемента по столбцу, матрицы перестановок, LU- разложение PA матрицы.

2.7. Числа обусловленности сомножителей в LU - разложении квадратной матрицы A. Число обусловленности произведе­ния QA, где Q - ортогональная (унитарная) матрица.

2.8. Матрицы враще­ния, QR - разложение квадратной матрицы A.

2.9. Матрицы отражения, HR - разложение матрицы A.

2.10. Метод прогонки для систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Диагональное преобладание. Метод матричной (формулы) прогонки.

3. Итерационные методы решения систем линейных уравнений.

3.1. Двухслойные (одношаговые) итерационные методы. Вектор ошибки, и вектор невязки, матрицы перехода. Канонический вид двухслойного однопараметрического итерационного метода.

3.2. Достаточное условие сходимости стационарного итерационного метода. Теорема о необходи­мом и достаточном условии сходимости стационарного итерационного метода. Ассимптотическая скорость сходимости.

3.3. Метод простой итерации, теорема о сходимости, выбор оптималь­ного параметра.

3.4. Метод Якоби, достаточное условие сходимости (лем­ма Гершгорина).

3.5. Метод Зейделя (Гаусса-Зейделя).

3.6. Определение функционала ошибки Ф(z), подчиненного итерацион­ному методу, существование такого функционала - достаточное усло­вие сходимости итерационного метода. Теорема о достаточном усло­вии сходимости стационарного итерационного метода (B > 0.5*t*A).

3.7. Сходимость метода Зейделя для систем с симметричными, положитель­но определенными матрицами.

3.8. Релаксация, сходимость метода релакса­ции для систем с симметричными, положительно определенными матри­цами.

4. Нестационарные итерационные методы решения систем линейных уравнений.

4.1. Вариационный принцип вы­бора параметров.

4.2. Метод наискорейшего спуска, сходимость для систем с симметричными, положительно определенными матрицами.

4.3. Метод мини­мальных невязок, сходимость для систем с положительно определенны­ми матрицами.

5. Многопараметрические итерационные методы.

5.1. Метод простой итер­ации с чебышевским набором параметров (метод Ричардсона или Чебы­шевский итерационный метод). Оценка сходимости. Устойчивость чебы­шевских наборов итерационных параметров. Трехчленные формулы чебышевского итерационного метода.

5.2. Метод сопряженных градиентов. Оценка сходимости метода. Пос­троение A - ортогонального базиса, двухчленные формулы реализации.

6. Итерационные методы решения задачи на собственные значения и векторы симметричной матрицы.

6.1. Характеристический полином матрицы, непрерывная зависимость его корней от коэффициентов.

6.2. Степенной метод приближенного вычис­ления максимального по модулю собственного значения и соответству­ющего ему собственного вектора симметричной, положительно опреде­ленной матрицы. Его применение для вычисления минимального или ближайшего к наперед заданному числу собственного значения.

6.3. Закон инерции и L*D*L'- разложение симметричной матрицы, идея метода деления пополам.

6.4. При­ведение симметричной матрицы к трехдиагональному виду ортогональ­ным преобразованием подобия (с помощью матриц вращения).

6.5. Якобиевая симметричная матрица, свойства последовательности ее главных мино­ров, теорема о количестве ее отрицательных собственных значений, простота собственных значений.

6.6. Схема метода деления пополам (мето­да бисекций) приближенного вычисления i-того собственного значения якобиевой матрицы, вычисление соответствующего ему собственного вектора.

6.7. Метод Якоби. Инвариантность суммы квадратов элементов матрицы при умноже­нии ее на ортогональную матрицу: S(A)=S(QA)=S(AQ). Изменение суммы квадратов внедиагональных элементов матрицы при ортогональном пре­образовании подобия с помощью элементарных матриц вращения. Формулы элементов матрицы вращения.

6.8. Оценка сходимости к нулю сумм квадратов внедиагональных элементов последовательности матриц метода вращения.

6.9. Оценка точности приближения собственных значений.

6.10. Оценка точности приближения собственных векторов (случай простых собственных зна­чений).

---

Дата добавления: 2015-12-17; просмотров: 12; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!