СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ
Определение 1. Функция 
называется непрерывной в точке 
, если она задана в этой точке и в некоторой её окрестности и если 
.
Пример:
Функция 
непрерывна в любой точке 
и поэтому 
, например, 
.
Согласно данному определению, непрерывность функции в точке означает одновременную выполнимость следующих условий:
1) функция должна быть задана в точке и в некоторой её окрестности;
2) существуют 
и 
;
3) 
;
4) 
.
Если хотя бы одно из условий 1) - 4) не выполняется, то функция 
будет разрывной в точке , а точка называется точкой разрыва функции .
Классификация точек разрыва
1. точки устранимого разрыва;
2. точки разрыва первого рода (скачки);
3. точки разрыва второго рода.
Определение 2. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если существует 
, но 
или значение функции в точке не задано.
Определение 3. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные односторонние пределы и , но они различны, следовательно, не существует.
Определение 4. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.
Свойства функций, непрерывных в точке.
Теорема 1. Сумма (разность) конечного числа функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в точке .
Теорема 2. Произведение конечного числа функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в точке .
|
|
|
Теорема 3. Частное двух функций, непрерывных в точке , есть функция, непрерывная в этой точке, если значение функции, стоящей в знаменателе, отлично от нуля в точке .
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ
Определение 1. Если функция непрерывна в каждой точке интервала 
, то она непрерывна на этом интервале.
Определение 2. Функция называется непрерывной на отрезке 
, если она непрерывна на интервале и 
.
Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками a и b найдется, по крайней мере, одна точка 
, в которой функция обращается в нуль:
.
Геометрический смысл теоремы:
График непрерывной функции , соединяющий точки 
и 
, где 
и 
(или 
и 
), пересекает ось 
по крайней мере в одной точке.
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , то среди значений, принимаемых ею на этом отрезке, существуют наименьшее и наибольшее значения. При этом она принимает все значения между наибольшим и наименьшим значениями.
Дата добавления: 2022-07-02; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!