Вычислить двумя способами, поменяв порядок интегрирования, в виде двукратного или суммы двукратных интегралов. Изобразить область интегрирования :
;
Решение.
Область интегрирования D изображена на рис. 2.:
Рис.2. Область интегрирования
Областью интегрирования D является треугольник, ограниченный прямыми , , (см. рис.2). Здесь , (так как точка входа лежит на оси , а точка выхода - на прямой ); , .
Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем постоянным: .
Следовательно, .
Поменяем порядок интегрирования:
В этом случае (так как точка входа лежит на прямой или , а точка выхода на прямой ), , , получим .
Так как
,
то .
Ответ: .
3. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями, выбрав наиболее удобный путь интегрирования:
a ) , D:
Решение.
Найдем точку пересечения двух графиков:
Область изображена на рис. 3а
Рис. 3а
Если выбрать внутреннее интегрирование по , а внешнее – по , то двойной интеграл по этой области выразится одним повторным интегралом.
Ответ: -72
б) , D:
Решение.
Область изображена на рис. 3б. Выберем внутреннее интегрирование по , а внешнее – по , тогда двойной интеграл по этой области выразится следующим образом.
Рис. 3б
Ответ: .
Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам. Изобразить область интегрирования:
;
Решение.
Область изображена штриховкой на рис. 4.
Рис. 4. Область интегрирования
Применяем формулу:
|
|
Подставим в подынтегральную функцию полярные координаты:
;
Из рис.4 видно, что полярный радиус изменяется , а полярный угол изменяется . Подставляем в формулу, получаем:
.
Ответ: .
5. Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями. Изобразить область интегрирования :
: , , .
Решение:
Область D (рис. 5) данного примера спроектируем на ось , которая
проектируется в отрезок [–1; 0] и имеет левой границей линию , а правой – прямую х = –у. Тогда, подставляя в формулу получаем:
.
0 |
D |
y |
x |
–1 |
Рис. 5 Область интегрирования
.
Окончательно получаем .
Ответ: .
6. Вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями:
а) V:
Решение.
Тело, ограниченное данными поверхностями изображено на рис.6а:
Рис. 6а
Формула для нахождения объема:
Найдем объем:
Ответ: .
б) V: , , , .
Решение.
Тело, ограниченное данными поверхностями изображено на рис.6б:
Рис. 6б
Ответ: .
7. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:
а) , где - отрезок прямой от точки до точки .
Решение.Уравнение прямой:
|
|
Подставим координаты точек О и В: .
Получаем уравнение прямой: .
Используем формулу:
Далее, находим производную .
.
Ответ: .
б) по дуге окружности при изменении параметра .
Решение. Так как кривая задана в параметрическом виде, то
Найдем производные:
Вычислим исходный интеграл:
Ответ: .
в) , где - вторая четверть окружности
Решение. Так как кривая представляет собой часть окружность при то ее удобно задать в полярных координатах: . Тогда используем формулу:
Вычислим исходный интеграл:
Ответ: -8.
8. Вычислить данный криволинейный интеграл 2-го рода:
а) , где L – дуга параболы , от точки до .
Решение.
Для данного интеграла и при движении из точки в точку координата меняется от 0 до 1, и по формуле получаем:
.
Ответ: .
б) , где - окружность при положительном направлении обхода.
Решение.
Так как кривая задана параметрически, то используем формулу
Поскольку интегрирование производится по замкнутому контуру, то параметр изменяется .
.
Ответ: .
9. Вычислить тройной интеграл:
Решение.
Вычисляем внутренний интеграл по переменной , считая и константами. Получаем:
|
|
Вычисляем средний интеграл - по переменной y. Получаем:
Вычисляем самый внешний интеграл - по переменной x и окончательно находим данный тройной интеграл:
Ответ: 2.
Дата добавления: 2022-06-11; просмотров: 28; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!