Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам. Изобразить область интегрирования:

Стр 1 из 4Следующая ⇒

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКИЙ ИНСТИТУТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

ИМЕНИ ГЛАВНОГО МАРШАЛА АВИАЦИИ Б.П. БУГАЕВА

Кафедра естественно - научных дисциплин

кратные и Криволинейные интегралы

Расчетно-графическая работа

Ульяновск 2018

Кратные и криволинейные интегралы. Расчетно-графическая работа: учебно-методическое пособие / Сост. Бутузова Е.А., Синдяев А.В.

Содержит расчетные задания по разделу математического анализа «Кратные и криволинейные интегралы». Приведены решения типовых задач с подробными объяснениями. Предлагаемые расчетные задания составлены в соответствии с программой раздела курса высшей математики,

Настоящая работа рассмотрена методическим советом УИ ГА, одобрена и рекомендована в качестве учебно-методического пособия для курсантов ульяновского института гражданской авиации при изучении указанного раздела и самостоятельной подготовке.

Содержание

Общие положения.................................................................................................4

Теоретические вопросы...............................................………..….…..............…5

Теоретические упражнения……………………………………………………..6

Расчетные задания.............................………………………..……......................7

Решение типового варианта.....................................………...………................33

Литература............................................................................................................56

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Важным фактором изучения курса высшей математики и практического овладения ее методами является самостоятельная работа курсанта. Типовые расчеты по разделу математического анализа «Кратные и криволинейные интегралы» предназначены для развития и активизации самостоятельной работы курсантов по указанной теме .

Типовой расчет содержит теоретические вопросы, теоретические упражнения и расчетную часть. Теоретические вопросы и теоретические упражнения - для всех курсантов учебной группы, а задачи - для каждого курсантам выдаются по вариантам.

В типовых расчетах принята следующая нумерация: первое число означает номер задания, а второе - номер варианта.

Ответы на теоретические вопросы курсант готовит устно, а теоретические упражнения и расчетные задания - письменно по мере изучения учебного материала на лекциях и практических занятиях. Завершающим этапом является защита типового расчета. Во время защиты курсант должен уметь правильно отвечать на теоретические вопросы, объяснять решения теоретических упражнений и задач, решать задачи аналогичного типа.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1. Определение двойного интеграла. Его геометрический и физический смысл.

2. Основные свойства двойных интегралов.

3. Теорема о среднем для двойного интеграла.

4. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).

5. Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).

6. Замена переменных в двойном интеграле.

7. Двойной интеграл в полярных координатах.

8. Привести примеры применения двойного интеграла в технических приложениях.

9. Определение тройного интеграла. Его физический смысл.

10. Основные свойства тройных интегралов.

11. Вычисление тройного интеграла с помощью перехода к двойному.

12. Определение криволинейного интеграла первого и второго рода.

13. Свойства криволинейных интегралов первого и второго рода.

14. Теоремы о вычислении криволинейных интегралов.

15. Сравнительный анализ криволинейных интегралов первого и второго рода.

16. Теорема Грина.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать равенство ,
если D – прямоугольник .

2. Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что , где D – прямоугольник , если m,n – натуральные числа и, по меньшей мере, одно из них нечетно.

3. Доказать формулу Дирихле: ,
4. Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство:

5. Определить, какой интеграл больше или

, если и ?

6. Доказать теорему о среднем для криволинейного интеграла 1-го рода:

Если функция непрерывна на кривой длиной , то на этой кривой найдётся точка с координатами такая, что

7. Доказать, что криволинейный интеграл 2-го рода , если - прямоугольник, в котором стороны и параллельны оси .

РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Вычислить двойной интеграл по области D , ограниченной указанными линиями:

1.1. , D: .

1.2. , D: .

1.3. , D: .

1.4. , D: .

1.5. , D: .

1.6. , D: .

1.7. , D: .

1.8. , D: .

1.9. , D: .

1.10. , D: .

1.11. , D: .

1.13. , D: .

1.14. , D: .

1.15. , D: .

1.16. , D: .

1.17. , D: .

1.18. , D: .

1.19. , D: .

1.20. , D: .

1.21. , D: .

1.22. , D: .

1.23. , D: .

1.24. , D: .

1.25. , D: .

1.26. , D: .

1.27. , D: .

1.28. , D: .

1.29. , D: .

1.30. , D: .

1.31. , D:

1.32. , D: .

1.33. , D: .

1.34. , D: .

1.35. , D: .

1.36. , D: .

1.37. , D: .

1.38. , D: .

1.39. , D: .

1.40. , D: .

2. Вычислить двумя способами, поменяв порядок интегрирования, в виде двукратного или суммы двукратных интегралов. Изобразить область интегрирования :

2. 1.	2.2.
2.3.	2. 4.
2. 5.	2. 6.
2. 7.	2. 8.
2. 9.	2. 10.
2. 11.	2. 12.
2. 13.	2. 14.
2. 15.	2. 16.
2. 17.	2. 18.
2. 19.	2. 20.
2. 21.	2. 22.
2. 23.	2. 24.
2.25.	2.26.
2.27.	2.28.
2.29.	2.30.
2.31.	2.32.
2.33.	2.34.
2.35.	2.36.
2.37.	2.38.
2.39.	2.40.

3. Вычислить двойной интеграл по области D , ограниченной указанными линиями, выбрав наиболее удобный путь интегрирования:

3.1. , D: , .

3.2. , D: , .

3.3. , D: , .

3.4. , D: , , .

3.5. , D: , , .

3.6. , D: , .

3.7. , D: , .

3.8. , D: , .

3.9. , D: , , .

3.10. D: ,

3.11. , D: , .

3.12. , D: , ,

3.13. D: , ,

3.14. D:

3.15. D: , , , .

3.16. D:

3.17. D:

3.18. , D:

3.19. , D:

3.20. , D:

3.21. , D:

3.22. , D:

3.23. , D:

3.24. , D:

3.25. , D:

3.26. , D:

3.27. , D:

3.28. , D:

3.29. , D:

3.30. , D: , , .

3.31. D: .

3.32. D: .

3.33. D: .

3.34. D: .

3.35. D: .

3.36. D: .

3.37. D:

3.38. D: .

3.39. D:

3.40. D:

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам. Изобразить область интегрирования:

4. 1.	4.2.
4.3.	4. 4.
4. 5.	4. 6.
4. 7.	4. 8.
4 . 9.	4 . 10.
4. 11.	4 . 12.
4. 13.	4. 14.
4. 15.	4. 16.
4. 17.	4. 18.
4. 19.	4. 20.
4. 21.	4. 22.
4. 23.	4. 24.
4.25.	4.26.
4.27.	4.28.
4.29.	4.30.
4.31.	4.32.
4.33.	4.34.
4.35.	4.36.
4.37.	4.38.
4.39.	4.40.

5. Вычислить площадь плоской области D , ограниченной заданными линиями. Изобразить область интегрирования :

5.1. : , , .

5.2. : , , .

5.3. : , , .

5.4. : , , .

5.5. : , , .

5. 6 . : , .

5. 7 . : , .

5. 8 . : , .

5. 9 . : , , , .

5. 10 . : , , .

5.11. : , , .

5. 12 . : , , .

5. 13 . : , , , .

5. 14 . : , , .

5.15. : , , .

5.16. : , , , .

5.17. : , , .

5.18. : , .

5.19. : , , , ,

5.20. : , , .

5.21. : , .

5.22. : , .

5. 23 . : , , .

5. 24. : , .

5. 25. : , , , .

5. 25. : , .

5. 26. : , .

5. 27. : , .

5. 28. : , , , .

5.29. : , , , .

5.30. : , .

5.31. : , .

5.32. : , .

5.33. : , .

5.34. : , , , .

5.35. : , .

5.36. : , , .

5.37. : , , .

5.38. : , , .

5.39. : , .

5.40. : , , , .

6. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15.

6.16.

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

6.26.

6.27.

6.28.

6.29.

6.30.

6.31. , , , .

6.32. , , .

6.33. , , , .

6.34. , , .

6.35. , , , , .

6.36. , , , .

6.37. , , , .

6.38. , , , .

6.39. , , , .

6.40. , , .

7. Вычислить криволинейный интеграл 1-го рода:

7.1. где - дуга параболы , отсеченная параболой .

7.2. где - первая четверть окружности .

7.3. , где - отрезок прямой, соединяющий точки .

7.4. , где - отрезок прямой : ; .

7.5. , где - отрезок прямой, заключенный между точками и .

7.6. , где - дуга параболы от точки до точки .

7.7. , где - дуга астроиды , при .

7.8. где - прямая от точки О(0;0) до точки А(4;2).

7.9. , где - дуга кривой , .

7.10. , где - верхняя половина окружности .

7.11. где - часть циклоиды , при

7.12. где - отрезок прямой, соединяющий точки: О(0;0) ; B(1;2).

7.13. , где - дуга параболы , отсеченная параболой .

7.14. , где - третья четверть окружности .

7.15. , где - прямая от точки до точки и от точки до точки .

7.16. где - часть кривой , .

7.17. , где - прямая от точки до точки и от точки до точки .

7.18. , где - дуга кривой , .

7.19. где - вторая четверть окружности .

7.20. , где - первая арка циклоиды , .

7.21. , где - нижняя половина окружности .

7.22. , где - дуга астроиды , при .

7.23. , где - первая четверть окружности .

7.24. , где - первая арка циклоиды , .

7.25. , где - верхняя половина окружности .

7.26. , где - дуга параболы , отсеченная параболой .

7.27. где - отрезок прямой, заключенный между точками ; .

7.28. , где - четвертая четверть окружности .

7.29. где - отрезок прямой, соединяющий точки и .

7.30. где - дуга параболы , отсеченная параболой .

7.31. где L - отрезок прямой, соединяющий точки и .

7.32. где L - отрезок прямой .

7.33. , где - отрезок прямой, заключенный между точками

7.34. где L- дуга параболы от точки до точки .

7.35. , где L- часть кривой при .

7.36. где L - прямая от точки до точки .

7.37. , где - дуга кривой , .

7.38. , где -левая половина окружности .

7.39. , где - часть циклоиды при

7.40. , где L - отрезок прямой от точки до точки .

Задание 8. Вычислить данный криволинейный интеграл II рода:

8.1. , где - дуга параболы от точки до точки .

8.2. , где - дуга кубической параболы от точки до точки .

8.3. , где - окружность при положительном направлении обхода.

8.4. , где - ломаная ; ; ; .

8.5. , где - отрезок прямой от точки до точки .

8.6. , где - отрезок прямой от точки до точки .

8.7. , где - отрезок прямой от точки до точки .

8.8. , где - дуга кубической параболы от точки до точки .

8.9. , где - ломаная ; ; ; .

8.10. , где - дуга окружности от точки до точки .

8.11. , где - дуга параболы от точки до точки .

8.12. , где - дуга параболы от точки до точки .

8.13. , где - дуга параболы от точки до точки .

8.14. , где - дуга фигуры Лиссажу от точки до точки .

8.15. , где - дуга параболы от точки до точки .

8.16. где - дуга параболы, заданной параметрически от точки до точки .

8.17. , где - дуга линии от точки до точки .

8.18 , где - дуга параболы от точки до точки .

8.19. , где - дуга окружности от точки до точки .

8.20. , где - дуга гиперболы от точки до точки .

8.21. , где - ломаная линия от точки до точки .

8.22. , где - контур треугольника с вершинами , , при положительном направлении обхода.

8.23. , где - ломаная ; ; ; .

8.24. , где - дуга параболы от точки до точки .

8.25. , где - дуга кубической параболы от точки до точки .

8.26. , где - окружность при положительном направлении обхода.

8.27. , где - ломаная ; ; ; .

8.28. , где - отрезок прямой от точки до точки .

8.29. , где - отрезок прямой от точки до точки .

8.30. , где - отрезок прямой от точки до точки .

8.31. , где - дуга кубической параболы от точки до точки .

8.32. , где - ломаная ; ; ; .

8.33. , где - дуга окружности от точки до точки .

8.34. , где - дуга параболы от точки до точки .

8.35. , где - дуга параболы от точки до точки .

8.36. , где - дуга окружности от точки до точки .

8.37. , где - дуга гиперболы от точки до точки .

8.38. , где - ломаная линия от точки до точки .

8.39. , где - контур треугольника с вершинами , , при положительном направлении обхода.

8.40. , где - дуга гиперболы от точки до точки .

9. Вычислить тройной интеграл:

9.1.	9.2.
9.3.	9.4.
9.5.	9.6.
9.7.	9.8.
9.9.	9.10.
9.11.	9.12.
9.13.	9.14.
9.15.	9.16.
9.17.	9.18.
9.19.	9.20.
9.21.	9.22.
9.23.	9.24.
9.25.	9.26.
9.27.	9.28.
9.29.	9.30.
9.31.	9.32.
9.33.	9.34.
9.35.	9.36.
9.37.	9.38.
9.39.	9.40.