Формула для вычисления дисперсии

D(X) = M(X)² – [M(X)]²

Пример.

X	2	3	5
P	0,1	0,6	0,3

M(X) = 2 ^. 0,1 + 3 ^. 0,6 + 5 ^. 0,3 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 3,5.

X²	4	9	25
P	0,1	0,6	0,3

M(X²) = 4 ^. 0,1 + 9 ^. 0,6 + 25 ^. 0,3 = 0,3 + 1,0 + 1,0 = 13,3

D(X) = M(X)² – [M(X)]²= 13,3 – (3,5)² = 10,5

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю D(C) = 0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат D(CX) = C²D(X)

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D(X + Y) = D(X) + D(Y)

4. Дисперсия разности двух независимых величин равна сумме их дисперсий D(X – Y) = D(X) + D(Y)

Следствия

5. D(C + X) = D(X) где С – const.

6. D(X + Y + Z) = D(X) + D(Y) + D(Z)

Пример. D(X) = 2 D(4X + 5) = D(4X) + D(5) = 16D(X) + 0 = 16 ^. 2 = 32

Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых р – вероятность появления постоянна: D(X) = n ^. p ^. q.

Пример. Производится 10 независимых испытаний р = 0,6.

D(X) = n ^. p ^. q = 10 ^. 0,6 ^. 0,4 = 2,4

Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют не дисперсию, а среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии, поэтому его размерность равна размерности случайной величины. Например, если Х выражается в линейных метрах, то тоже выражается в линейных метрах, а D(X) – в квадратных метрах.