Примеры дискретных распределений

Урок - лекция

Тема: Понятия «случайная величина», «дискретная случайная величина», «непрерывная случайная величина». Закон распределения случайных величин. Числовые характеристики случайных величин..

Цель: познакомиться с распределением дискретных и непрерывных случайных величин.

Задание: изучить материал урока и ответить на контрольные вопросы.

Ход урока

I. Повторение основных понятий

Случайные величины

Случайная величина (СВ) – это величина, которая в результате опыта может принимать те или иные значения, причем до опыта мы не можем сказать, какое именно значение она примет.

(Более точно, СВ - это действительная функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω).

Случайные величины обозначаются буквами латин­ского алфавита X, Y, Z.

Случайные величины могут быть трех типов:

дискретные,

непрерывные,

смешанные (дискретно-непрерывные).

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конеч­ное или бесконечное счетное число значений.

Непрерывная случайная величина (НСВ) в отличие от ДСВ при­нимает бесконечное несчетное число значений.

Пусть X - дискретная случайная величина, которая принимает значения: x₁, x₂, ..., х_n... с некоторой вероятностью p_i ,где i = 1,2,..., n,... Тогда можно говорить о вероятности того, что случайная величи­на X приняла значение х_i: p_i = P(X = x_i).

Значения х_i, и соответствующие р_i,представляют в виде таблицы:

xi	x1	x2	x3	…	xn	…
pi	p1	p2	p3	…	pn	…

Эта таблица является одной из форм задания ДСВ. Обычно случайные величины располагаются в возрастающем порядке. Основное свойство таблицы заключено в том, что сумма вероятностей равна 1.

 

Дискретная случайная величина может быть представлена в виде многоугольника распределения  фигуры, состоящей из точек (x_i, p_i),соединенных отрезками.  Над случайными величинами устанавливаются операции сложения и умножения.

1. Суммой двух случайных величин X и Y называется случайная ве­личина, которая получается в результате сложения всех значений случайной величины X и всех значений случайной величины Y, со­ответствующие вероятности перемножаются.

2. Произведением двух случайных величин Х и Y называется случай­ная величина, которая получается в результате перемножения всех значений случайной величины X и всех значений случайной вели­чины Y, соответствующие вероятности перемножаются.

II. Изучение нового материала

Определение : Законом распределения ДСВ называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Закон распределения может быть задан формулой (формулы Бернулли, Пуассона и др.), таблицей или графиком, а также функцией распределения.

хi	х1	х2	. . .	хn
Pi	р1	р2	. . .	рn

называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины.

Пример построения ряда распределения ДСВ

Пример 1: Два стрелка стреляют по мишени, делая по два выстре­ла каждый. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго - 0,6. Построить ряд распределения случайной величины Х – общего числа попаданий в мишень. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

Решение:  Случайная величина Х - общее число попаданий в мишень может принимать следующие значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2, х₄=3, х₅=4.

Случайная величина Х примет значение х₁=0. когда прои­зойдет событие С - ни один из стрелков не попал в мишень. Со­бытие С произойдет в том случае, если одновременно произойдут следующие четыре события:

А₁ - 1-й стрелок не попал в мишень при первом выстреле;

А₂ - 1-й стрелок не попал в мишень при втором выстреле;

В₁ - 2-й стрелок не попал в мишень при первом выстреле;

В₂ - 2-й стрелок не попал в мишень при втором выстреле.

Отсюда следует: что событие С равно произведению независимых событий А₁, А₂, В₁, В₂. С= А₁ ^.А₂ ^.В₁ ^.В_2.

Откуда Р(С)=Р(А₁)^.Р(А₂)^.Р(В₁)^.Р(В₂).  

По условию задачи 1-й стрелок попадает в мишень вероятностью 0,7, а 2-й - с вероятностью 0,6. Тогда вероятности непопадании в мишень для каждого стрелка будут следующими:

Р(А₁) =Р(А₂)=1-0,7=0,3;         Р(В₁ )=Р(В₂)=1-0,6=0,4.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значе­ние х₁ = 0, равна вероятности события С :

Р(Х=0)=Р(С)=0,3 ^.0,3 ^.0,4 ^.0,4=0,0144.

Аналогично подсчитываем и другие вероятности:

Р(Х=1)=0,7^.0,3^.0,4 ^.0,4+0,3^.0,7^.0,4 ^.0,4+0,3^.0,3^.0,6^.0,4+0,3^.0,3^.0,4 ^.

^.0,6=0,1104.

Р(Х=2)=0,7^.0,7^.0,4 ^.0,4+0,3 ^.0,3 ^.0,6 ^.0,6+4 ^.(0,7 ^.0,3 ^.0,6 ^.0,4)=0,3124.

Р(Х=3)=0,3^.0,7^.0,6^.0,6+0,7^.0,3^.0,6^.0,6+0,7^.0,7^.0,4^.0,6+0,7^.0,7^.0,6^.0,4==0,3864.

Р(Х=4)=0,7 ^.0,7 ^.0,6 ^.0,6=0,1764.

Составим ряд распределения случайной величины Х.

хi	0	1	2	3	4
Pi	0,0144	0,1104	0,3124	0,3864	0,1764

Проверим тождество .

0,0114+0,1104+0,З124+0,3864+0,1764 =1.

Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 рублей и 10 по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х — стоимость возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Искомый закон распределения имеет вид:

X	1000	100	0
P	0,01	0,1	0,89

 

Контроль; 0,01+0,1+0,89=1.
Многоугольник распределения изображен на рисунке 1.

При аналитическом способе задания закона распределения указывают формулу, связывающую вероятности случайной величины с ее возможными значениями.

Примеры дискретных распределений

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью p , следовательно, не наступает с постоянной вероятностью q = 1- p . Рассмотрим случайную величину X — число появления события A в этих n испытаниях. Возможными значениями X являются x₁ = 0 , x₂ = 1,…, x_n+1 = n . Вероятность этих возможных

значений определяется по формуле Бернулли

Получили закон распределения

Этот закон распределения называется биномиальным.

Распределение Пуассона

Если решить предыдущую задачу при условии, что число испытаний n велико, а вероятность p появления события A в каждом испытании мала, то можно получить формулу

Эта формула выражает закон распределения Пуассона для массовых ( n велико) и редких (p мало) событий. Существуют таблицы для определения Pn (k)

Замечание. По формуле Пуассона можно вычислить вероятность того, что число событий, происшедших за время равно , если события образуют пуассоновский поток, причём – интенсивность потока, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени:

.

ПРИМЕР 2. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов. Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течении которых телефонистка отлучилась, не будет ни одного вызова?

Решение: Найдём, прежде всего, – среднее число вызовов за 1 секунду:

.

Тогда, при , получим:

 

Закон распределения полностью определяет случайную величину, однако, не всегда его возможно привести в полном объеме.
Для решения многих проблем достаточно знания отдельных числовых параметров, характеризующих наиболее существенные черты случайной величины. С помощью таких характеристик во многих случаях удается исследовать поведение случайных величин.
Основными числовыми характеристиками случайной величины являются:

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 25; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!