Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат
Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат, обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих нижче фігур.
І. Фігура обмежена лініями 
, y = 0, x = a, x = b (рис.8). Функція 
— неперервна та 
Площа S такої криволінійної трапеції за геометричним змістом визначеного інтеграла така: 
.
Якщо при виконанні всіх інших умов 
(рис. 9),
(12)
| 
| 
|
| Рис. 8 | Рис. 9 | Рис. 10 |
ІІ. Фігура обмежена лініями 
(рис. 10). Функція 
— неперервна та 
Площа S такої фігури буде
1. 
(13)
а якщо 
(рис. 11), то
(14)
ІІІ. Фігура обмежена лініями 
, 
Функції 
та 
— неперервні та 
для 
(рис. 12). Площа S такої фігури визначається як різниця площ фігур аА2В1b та аА2В1b
(15)
Рис. 11 Рис. 12
Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями
та 
Рис. 13
Обчислення об’єму тіла
Задача. Знаючи закон зміни площі поперечного перерізу тіла, знайти його об’єм.
Розв’язання. Нехай функція 
— площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох у деякій точці 
. Відрізок 
дає лінійний розмір тіла в напрямі осі Ох.
Поділимо проміжок на n частин точками 
так, що 
Через ці точки проведемо площини перпендикулярно до осі, у результаті чого тіло буде розбито на n частин. Кожну з цих частин наближено замінимо циліндром
з висотою 
та площею основи 
, де 
(рис. 14).
|
|
|
Рис. 14
Тоді об’єм тіла наближено дорівнюватиме інтегральній сумі 
а точне значення об’єму тіла подаватиметься границею
(16)
якщо ця границя існує.
Задача. Знайти об’єм тіла 
утвореного обертанням навколо осі 
фігури, обмеженої лініями 
(рис. 15).
Розглядаючи цю задачу, як частинний випадок попередньої задачі, встановлюємо, що площа поперечного перерізу 
в даному випадку є площа круга радіусом 
, тобто 
, а об’єм тіла обертання за формулою (16) буде таким:
(17)
| |
| Рис. 15 |
Зауваження. Аналогічно, об’єм тіла 
утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями х = 0, 
, 
, 
(див. рис. 14), матиме вигляд
. (18)
Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!