Економічна сутність і постановка ДЛП.

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 14Следующая ⇒

Розв'язуючи економічні задачі, часто за критерій оптимальності беруть показники рентабельності, продуктивності праці тощо, які математично подаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так:

за умов

Припускають, що знаменник цільової функції в області допустимих розв'язків системи обмежень не дорівнює нулю.

Алгоритм розв'язування задачі дробово-лінійного програмування передбачає зведення її до задачі лінійного програмування. Щоб виконати таке зведення, позначимо

зробимо заміну змінних

і запишемо економіко-математичну модель:

за умов

Дістали задачу лінійного програмування, яку можна розв'язати симплексним методом. Нехай оптимальний план

7.2. Основні методи розвязування здач ДЛП і аналіз оптимальних планів

Задача 1.. Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене в Лісостепу України, має намір оптимізувати структуру виробництва. За критерій оптимальності взято максимізацію рентабельності як відношення прибутку до собівартості. Дані про види діяльності, що їх здійснюватиме товариство, наведено в таблиці:

Показник	Діяльність з вирощуванням							Ресурс
	озимої пшениці, га	цукрових буряків, га	корів продуктивністю, кг				кормових культур, га
	озимої пшениці, га	цукрових буряків, га	5000	4500	4000	3500	кормових культур, га
Урожайність, т/га	4	35	-	-	-	-	6	-
Собівартість, грн./т	600	250	600	700	800	9000	200	-
Ціна, грн./т	800	300	1000	1000	1000	1000	-	-
Вихід кормів, тон кормових одиниць/га	0,8	2,0	-	-	-	-	6	-
Витрати живої праці, людино-днів/га	4	25	6	6	6	6	3	26 000
Витрати механізованої праці, людино-днів/га	2	8	3	3	3	3	2	11 000
Частка корів у стаді	-	-	0,1	0,2	0,3	0,4	-
Потреба в кормах, т/гол	-	-	5	4,7	4,4	4,1	-	-

Акціонерне товариство має 2500 га ріллі. Записати економіко-математичну модель і знайти оптимальну структуру виробництва.

Розв'язання. Введемо позначення:

— площа посіву озимої пшениці, га;

— площа посіву цукрового буряка, га;

— площа посіву кормових культур, га;

— кількість корів продуктивністю 5000 кг;

— кількість корів продуктивністю 4500 кг;

— кількість корів продуктивністю 4000 кг;

— кількість корів продуктивністю 3500 кг.

Запишемо критерій оптимальності:

за розглянутих далі умов.

1. Обмеження за ресурсами.

1)Ріллі:

2) Живої праці:

3) Механізованої праці:

2. Обмеження сівозміни.

1) Посівна площа кормових має бути більша або дорівнювати площі під озимою пшеницею:

2) Посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками:

3. Структура корів за продуктивністю.

1) Балансове рівняння щодо корів:

де — загальна кількість корів.

2) Частка корів продуктивністю 5000 кг:

3) Частка корів продуктивністю 4500 кг:

4) Частка корів продуктивністю 4000 кг:

5) Частка корів продуктивністю 3500 кг:

4. Забезпеченість корів кормами:

Невід'ємність змінних:

Щоб знайти розв'язок за цією моделлю, зробимо відповідну заміну й скористаємося симплексним методом:

Отже, маємо таку лінійну економіко-математичну модель:

за розглянутих далі умов.

Задача 2 . Розв'язати графічно задачу дробово-лінійного програмування:

за умов

Розв'язання. Побудуємо на площині область допустимих розв'язків задачі — трикутник АВС.

Цільова функція задачі являє собою пряму, яка обертатиметься навколо початку системи координат залежно від змінюваних параметрів , так, що точки А і С будуть точками максимуму і мінімуму функції. Виразимо із цільової функції:

Кутовий коефіцієнт цільової функції

Розглянемо похідну

Оскільки при будь-якому значенні Z вона від'ємна, то функція є спадною (зі зростанням Z кутовий коефіцієнт зменшується), а графік цільової функції обертатиметься навколо початку координат за годинниковою стрілкою. Отже, точка С є точкою максимуму, а точка А — мінімуму досліджуваної задачі.