Оценка точности триангуляции по приближенным формулам

           

Стороны  s – общие для двух соседних треугольников, называют связующими, а противолежащие им углы А и В – связующими углами. Стороны с называют промежуточными, а противолежащие им углы С- промежуточными углами. На рисунке по ходовой линии

                              (1)

       Положим, что ошибки α₀ и углов С_i являются случайными и независимыми. Используя формулу с.к.о. функции , (ч.пр.) при  для функции (1) находим

 .                                (2)

Если предварительно сделать уравнивание за условие фигур, то

.                  (3)

Полагая в (1) С = С⁰ с учетом (3) имеем

.

По формуле с.к.о. функции получим

.

       При  имеем

 .                                                 (4)

       Разделив левые и правые части формул (4), (2) и принимая в формуле (4)  при , находим

.                                                (5)

Следовательно, предварительное уравнивание ряда триангуляции за условия фигур повышает точность передачи азимута примерно на 18%.

Если азимуты начальной и конечной линий ряда триангуляции известны, то для связующей стороны k, находящейся внутри ряда, , где  - вес азимута стороны k,  - веса азимута этой стороны, получаемой от твердой начальной и конечной сторон соответственно. Так как , то , откуда

,                                                       (6)

где

.                              (7)

       Наиболее слабой в отношении точности является связующая сторона в середине ряда, т.е. при . В этом случае ,

,

а

.                                          (8)

       Если звено триангуляции с известными базисами и азимутами на его концах состоит из равносторонних треугольников и уравнено по направлениям за условия фигур, базисов и азимутов, то

,                                   (9)

где N – число треугольников в звене, k – номер треугольника с оцениваемой стороной, m – с.к.о. измерения угла, m_α – с.к.о. определения азимутов.

 

Средняя квадратическая ошибка передачи связующей стороны в ряде триангуляции

       На рисунке по теореме синусов имеем

.

Аналогично

.

Логарифмируя, получим

.

       Если предварительно выполнено уравнивание за условие фигур, то

.

С учетом этих значений

.

       Положим, что ошибки измерения b и углов A_i, B_i, C_i являются случайными и независимыми. Применяя формулу с.к.о. функции, при , получим

.                            (10)

       Величина  не зависит от точности измерений, а зависит только от величин углов A_i, B_i , т.е. от формы треугольника, ее называют ошибкой геометрической связи, или геометрическим весом.

       Значение , где М = 0,43429 – модуль перехода от десятичного логарифма к натуральному. Переходя к с.к.о., находим , откуда

.                                (11)

Используя формулу разложения в ряд Тейлора, имеем

.

Принимая , при получим

,              (12)

где  - изменение логарифма синуса при изменении угла на 1” (единицы 6-го знака логарифма, деленные на 1”). Аналогично

.                                    (13)

С учетом (11) – (13) находим

,                                              (14)

где .

       При уравнивании по направлениям, учитывая , где μ – с.к.о. измерения направления, вместо (14) получим

.                                             (15)

       Если звено триангуляции состоит из равносторонних треугольников с базисами и азимутами на концах звена и уравнено по направлениям за условия фигур, базисов и азимутов, то в таком звене

,                                        (16)

где N – число треугольников в звене, k – номер треугольника с оцениваемой стороной. Продольный m_L  и поперечный m_q  сдвиги такого звена определяют по формулам

,                                     (17)

,                                     (18)

где n – число промежуточных сторон в диагонали звена . Общий сдвиг

.

 

Сплошные сети триангуляции

       Наиболее распространенными при оценке точности сплошных сетей триангуляции 2 класса являются формулы К.Л. Проворова, который установил, что в сплошной сети триангуляции 2 класса из равносторонних треугольников

,                                                (19)

где m_L, m_T – с.к.о. диагонали L ряда и с.к.о. направления этой диагонали.

       Продольный и поперечный сдвиги диагонали ряда равны, т.е.

.                                                     (20)

Значение

,                                       (21)

где m – с.к.о. измерения углов, n – число треугольников в цепочке между конечными пунктами диагонали, N – среднее число треугольников между базисными сторонами в сети. Формула (21) справедлива при n ≤ 5.

       В сплошной сети триангуляции, уравненной по углам за все возникающие в ней геометрические условия, с.к.о. дирекционного угла и логарифма стороны определяют по формулам

,                       (23)

где

.

       В формулах (21) – (23) не учитывают влияние ошибок измерения азимутов и базисных сторон. С учетом этих ошибок

,                            (24)

где m_α , m_lgS – определяют по формулам (23).

 

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 54; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!