Варианты для заданий № 5, №6, №7.

Даны точки А, В, С, D.

 

№ варианта	А	В	С	D
1	(2;-1;3)	(-1;3;2)	(0;1;-1)	(-1;-3;1)
2	(-2;-1;3)	(1;3;-2)	(3;1;-1)	(2;-3;-2)
3	(0;-1;3)	(-2;3;-1)	(0;1;-1)	(-1;-3;1)
4	(3;-2;3)	(-1;0;2)	(-3;1;-1)	(-3;-3;1)
5	(1;-1-2)	(-1;2;-2)	(2;1;-2)	(-1;-2;3)
6	(1;-1;3)	(-1;-2;2)	(1;1;-1)	(0;-3;1)
7	(2;-2;3)	(-2;3;2)	(1;1;-1)	(-1;-3;0)
8	(-2;1;-3)	(2;3;2)	(3;-1;-1)	(-1;-3;1)
9	(-1;-1;3)	(-1;3;-2)	(-3;1;-1)	(-1;-3;2)
10	(2;-1;2)	(-1;-3;2)	(2;1;-1)	(-1;-3;0)

 

Задание 5.

Найти:

1) направляющие косинусы вектора .

Найдем координаты вектора . Для этого из координат конца вектора (т.е. координат точки В(1;3;-2)) вычитаем координаты начала (т.е. координат точки А(-2;-1;3)).

 = (1-(- 2); 3-(-1); 2-3) =(3; 4; -1)

Обозначим первую координату вектора через , вторую- через , третью – через , т.е.

  =( ) =(3; 4; -1).

Тогда направляющие косинусы вычисляются по формулам (координата вектора делится на его длину):

cos a = ; cos b = ; cos g = .

То есть

cos a = ; cos b = ;

cos g = .

2) проекцию вектора  на вектор , т.е.  пр .

Чтобы найти проекцию вектора  на вектор , надо скалярное произведение этих векторов разделить на длину вектора .

пр  = .

Найдем координаты векторов, используемых в задании.

 = (3; 4; -1)  = (-5; -2;4),  3  = (-15; -6; 12)

 =(3-15; 4- 6; -1+12) = (-7; -2; 11),  = (5; -4; 1).

Тогда

 пр  =

3) высоту h пирамиды АВСD, опущенную из вершины D на плоскость основания АВС.

Высота h треугольной  пирамиды АВСD равна -объем пирамиды разделить на площадь основания  –площадь основания.

S_DABC =  |  |.

Найдем векторное произведение векторов  и .

=  =  -  +  = -14  -7  - 14

Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, тогда площадь треугольника, лежащего в основании пирамиды, вычисляется следующим образом:

S_DABC = =  =  ед².

Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды равен  объему параллелепипеда, численно совпадающим со смешанным произведением трех векторов, являющихся сторонами параллелепипеда.

 = (3;4;-1)  = (5; 2; -4)  = (4; -2; -5)

 =  =  |-30 +10 – 64 + 8 – 24 +100 | =  10 ед³

S_DABC =  ед²

 =  = .

 

 

Задание 6.

Доказать, что вектора  образуют базис. Найти разложение вектора  в этом базисе.

Найдем координаты векторов.

 = (3;4;-1)  = (5; 2; -4)  = (4; -2; -5)  = (5; -4; 1).

Убедимся, что вектора  образуют базис. Вектора образуют базис, если они линейно независимы, то есть определитель, элементами которого являются координаты векторов, не равен нулю.

= -30 +10 – 64 + 8 – 24 +100 =10 ¹ 0.

Т.е. вектора линейно независимы, следовательно, вектора  образуют базис и следовательно,  вектор  будет иметь следующее разложение:

 =  +b ·  +g · . 

Подставим вместо векторов их координаты:

Используя операции умножения вектора на число и сложение векторов, получим систему

Решаем систему методом Гаусса.

 ~  ~ ~

  =>   

 =443/154  -13/33  -9/14 .

 

Задание 7.

1) Составить уравнение прямой L , проходящих через две точки A и B

A = (-2;-1;3); B= (1;3;2); C = (3;1;-1); D = (2;-3;-2)

1) Дано:

A(-2;-1;3); B(1;3;2),

АÎL, BÎL

Найти

L .

Решение.

1.Нарисуем чертеж к задаче.

А

М(х,у,z)

В

2. На объекте исследования, т.е прямой А B, выберем произвольную точку М с текущими координатами, т.е М( ).

3. Построим вектора: один вектор с началом в заданной точке и концом в точке М , т.е  и вектор, соединяющий две заданных точки т.е .

4. Найдем координаты этих векторов.

,          = (3;4;-1).

5. Выясним, как расположены вектора относительно друг друга. Они параллельны || , следовательно, их координаты пропорциональны.

.

Таким образом, получили каноническое уравнение прямой.

 

2) написать параметрическое уравнение прямой L ₁ , проходящей через точку С, параллельно прямой AB ;

Дано:

A = (-2;-1;3); B= (1;3;2); C = (3;1;-1)

L:  (см. предыдущую задачу)

СÎ L₁

Найти

L₁.

Решение

1.Нарисуем чертеж к задаче.

А

В

C

L1

M(x,y,z)

 

2. На объекте исследования, т.е прямой L₁, выберем произвольную точку М с текущими координатами М( ).

3. Построим вектора: один вектор с началом в заданной точке С и концом в точке М , т.е , лежащий на прямой L₁ и направляющий вектор (вектор параллельный прямой)  = (3, 4, -1), найденный из канонического уравнения прямой AB:  .

4. Найдем координаты этих векторов.

      ;  = (3, 4, -1).

5. Выясним, как расположены вектора относительно друг друга. Они параллельны  || , следовательно, их координаты пропорциональны.

Таким образом, получили -это каноническое уравнение прямой L₁.

3) написать уравнение высоты DH треугольной пирамиды ABCD ;

 Дано: A(2;-2;3); B(-2;3;2); C(1;1;-1); D(-1;-3;0)

DH ^ AB C

Найти DH

Решение

Будем решать задачу в два этапа.

1) Найдем уравнение плоскости, проходящей чрез точки A,B и C .

1.Нарисуем чертеж.

 

A

B

M(x,y,z)

Р

C

2. На объекте исследования, т.е плоскости Р, выберем произвольную точку М с текущими координатами М( ).

3. Построим вектора: один вектор с началом в заданной точке А и концом в точке М , т.е , второй вектор, соединяющий две заданных точки  и третий вектор, соединяющий две заданных точки .

4. Найдем координаты этих векторов.

   = (-4;5;-1)        = (-1; 3;-4)   

5. Выясним, как расположены вектора относительно друг друга. Эти вектора лежат в одной плоскости, следовательно, их смешанное произведение равно нулю т.е.

×  

Раскроем скобки.

 -17x - 15y - 7z + 25= 0 –это уравнение плоскости АВС.

 2) Найдем уравнение высоты DH.

1.Нарисуем чертеж.

A

B

M(x,y,z)

C

D

Н

 

2. На объекте исследования, т.е прямой DH, выберем произвольную точку М с текущими координатами М( ).

3. Построим вектора: один вектор с началом в заданной точке D и концом в точке М , т.е  и другой вектор- вектор нормали (вектор перпендикулярный плоскости) .

4. Найдем координаты этих векторов.

Из уравнения плоскости  -17x - 15y - 7z + 25= 0 найдем координаты вектора нормали к плоскости (это коэффициенты при неизвестных)  =(-17; -15; -7);  

5. Выясним, как расположены вектора относительно друг друга. Вектора и параллельны, следовательно, их координаты пропорциональны:

 -это и есть искомое уравнение высоты DH.

4) написать уравнение медианы AD треугольника ABC ;

Дано:

A(2;-2;3); B(-2;3;2); C(1;1;-1); D(-1;-3;0)

D₁ÎBC; | BD₁| = |D₁C|

Найти AD₁.

Решение

Координаты точки D₁ находим как половина суммы координат точек С и В.

D₁ =

Строим каноническое уравнение прямой аналогично задания 1)

 

AD₁: =>

 

5) определить угол между плоскостями ABC и ACD ;

6) Дано:

A(2;-2;3); B(-2;3;2); C(1;1;-1); D(-1;-3;0)

-17x - 15y - 7z + 25= 0 –уравнение плоскости АВС.

Найти j .

Решение

Найдем плоскость ACD (аналогично нахождению плоскости АВС)

Три вектора  = (-3;-1;-3)  = (-1; 3; -4)

Лежат в одной плоскости, следовательно их смешанное произведение равно нулю т.е.

=>

  13х -9y -10z-14 = 0 –это уравнение плоскости ACD.

Угол между двумя плоскостями то же самое, что угол между их векторами нормали.

Вектор нормали плоскости ABC  = (-17; -15; -7), а вектор нормали плоскости ACD  = (13; -9; -10)

 cos  = =

j =arcos ( )

 

Задание 8.

Определить тип кривой второго порядка; найти координаты центра; полуоси.

х² - 4у² – 6х - 16у - 29 = 0/

Сгруппируем слагаемые, содержащие х и слагаемые, содержащие у.

(х²  – 6х) -4(у² + 4у) -29 = 0

Выделим полный квадрат относительно х и у.

(х²  – 6х +9 – 9) -4(у² + 4у +4- 4) -29 = 0.

Свернем квадрат разности относительно х и квадрат суммы относительно у.

 (x - 3)² -4(y +2)² +16 -9 -29 =0

 (x - 3)² -4(y +2)² = 22.

Разделим правую и левую части уравнения на 22.

 

.

Это уравнение эллипса, центр которого имеет координаты (3;-2), большая полуось равна , малая .

Варианты к заданию № 8.

1. 5х² + 9у² – 30х + 18у + 9 = 0

2. 16х² - 9у² – 64х - 54у - 161 = 0

3. 4х² + 9у² – 16х - 18у - 11 = 0

4. х² - 4у² – 6х + 16у - 11 = 0

5. 16х² + 25у² + 32х - 100у - 284 = 0

6. 9х² - 16у² + 90х + 32у - 367 = 0

7. х² - 4у² – 6х - 16у - 29 = 0

8.  4х² + 3у² – 8х + 12у - 32 = 0

9. 16х² - 9у² – 64х - 18у + 199 = 0

 

Задание 9. Возвести комплексное число  в степень:

, z⁴ - ?

 

Найдем модуль и аргумент комплексного числа z = x + iy

Модуль:  =  = 4

Аргумент, т.е. угол:  = = = p -  =

Для z₁= z⁴ модуль будет r₁ = r⁴ = 4⁴ = 256, а аргумент j₁ = 4j =  ·4 .

Таким образом z⁴ =256·( cos  + i · sin )

Варианты к заданию № 9.

 

1) , ;	3) , ;
2) , ;	4) , ;
5) , ;	8) , ;
6) , ;	9) , ;
7) , ;	10) , .

 

Приложение 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

---

Дата добавления: 2022-01-22; просмотров: 26; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!