Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ

a. Система тестирования «ЦДО -тест», разработка ДГТУ.

b. Сайт Центра дистанционного обучения http:// de.dstu.ru

c. Сайт www.politech-tag.ru

Литература

Карта методического обеспечения дисциплины

№	Автор	Название	Издательство	Год издания
1	2	3	4	5
6.1.1	Шевченко Н.П.	Алгебра и аналитическая геометрия	ДГТУ. - Ростов н/Д	2006
6.1.2	Зубков А.Н., Павлова М.Н	Матрицы и их применение. Линейные преобразования.	ДГТУ - Ростов н/Д	2012
6.1.3	Данко П.Е.	Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1	М. : ОНИКС 21 век: Мир и Образование	2004
6.1.4	Ворович Е.И.	Учебно-методическое пособие по подготовке к интернет экзамену	ДГТУ. - Ростов н/Д	2007
6.1.5	Шипачев В.С.	Задачник по высшей математике	М. : Высш. шк.	2005
6.6.1	Абуев Ф.Л.	Программа и варианты контрольных работ для студентов первого курса заочного факультета	ДГТУ. - Ростов н/Д	2006
6.6.2	Шевченко Н.П.	Программа, варианты и методические указания к контрольным работам для студентов второго курса заочного факультета	ДГТУ. - Ростов н/Д	2007

Вариант контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки (нуль соответствует варианту №10)

Образец титульного листа см. приложение 1

Задание, выполненное в печатном виде, требуется помещать в рамку (см. образец в приложении 2). Задание, выполненное в тетради, не требуется помещать в рамку.

Контрольная работа №1

Задание №1

Вычислить А² - 3АВ, где

А = В =

Решение. Находим матрицу

А² =А∙А = ∙ .

Для получения элемента , стоящего в первой строке и в первом столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы первого столбца матрицы В (т.е первый элемент первой строки матрицы А умножим на первый элемент первого столбца матрицы В; второй элемент первой строки матрицы А на второй элемент первого столбца матрицы В; третий элемент первой строки матрицы А умножим на третий элемент первого столбца матрицы В)и их произведения сложим. Для получения элемента , стоящего в первой строке и во втором столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы второго столбца матрицы В и их произведения сложим и т. д. То есть для получения элемента , стоящего в i-ой строке и в j-ом столбце, перемножим соответствующие элементы j-го строки матрицы А и элементы j-го столбца матрицы В (т.е первый элемент i-ой строки матрицы А умножим на первый элемент j-го столбца матрицы В; второй элемент i-ой строки матрицы А на второй элемент j-го столбца матрицы В; третий элемент i-ой строки матрицы А умножим на третий элемент j-го столбца матрицы В)и их произведения сложим. и т.д. В итоге получим матрицу размером 3×3:

А²=

= =

Аналогично находим матрицу :

А∙В = ∙ =

= =

Вычисляем затем матрицу

3∙А∙В = 3∙ =

(Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент этой матрицы умножить на это число.)

= .

Таким образом, получим, что матрица

А² - 3АВ = - =

(Чтобы сложить две матрицы, надо сложить их соответствующие элементы.)

= .

Варианты задания № 1

1.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить ВА+2В.

2.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить АВ-3В.

3.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить АВ-3А.

4.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить 3В + ВА.

5.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить 2А + ВА.

6.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить 3В + ВА.

7.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить 2В + 3ВА.

8.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить 3В +2 АВ.

9.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить 3В + ВА.

10.Даны матрицы А = и В = .

Вычислить 4А + ВА.

Задание №2

Решить системы линейных алгебраических уравнений матричным способом.

Запишем систему (1)

через произведение матриц по формуле (2.3). Для этого составим матрицу, соответствующую данной системе:

А = ,

столбец свободных членов В = и столбец неизвестных Х = .

Тогда система уравнений запишется в матричном виде

∙ = ,

т.е. А∙Х =В .Откуда находим,что Х = А^-¹∙В.

Найдем обратную матрицу А^-1. Для этого

1) вычислим главный определитель матрицы

= =(С₂ := С₁ + С₂, С₃ := -2∙С₁ + С₃, С₄ := -2∙С₁ + С₄)=

= = 1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 =

= - = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 +

2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = - ( 3∙7+2∙10)= - 41.

2) построим матрицу ( _ij ) из алгебраических дополнений ij элементов матрицы А.

Найдем эти алгебраические дополнения (определители вычисляем по правилу треугольника):

₁₁ = (-1)¹⁺¹ ∙ = 2 - 4 +6+6-1-8 = 1,

₁₂ = (-1)¹⁺² ∙ = -(-2 + 2 +9 - 3+1- 12) = 5,

₁₃ = (-1)⁴ ∙ = 4 - 1 + 18+6 +2+6 = 35,

₁₄ = (-1)⁵ ∙ = -(2 - 1 + 12+ 4+2 + 3 ) = -22,

₂₁ = (-1)³ ∙ = -(-2 + 4 - 2- 2+1+ 8) = -7,

₂₂ = (-1)⁴ ∙ = -4 - 2 - 3+ 1+2+ 12 = 6,

₂₃ = (-1)⁵ ∙ =-(8 - 6 + 1- 2 + 4- 6 ) = 1,

₂₄ = (-1)⁶ ∙ = 4 + 1 – 12 – 4 + 4- 3 = -10,

₃₁ = (-1)⁴ ∙ = 4 - 12 +1+4-4-3 = -10,

₃₂ = (-1)⁵ ∙ = -(8 - 1 +6 - 2- 6+ 4) = -9,

₃₃ = (-1)³⁺³ ∙ = -4 - 3 - 2+ 1- 12- 2 = -22,

₃₄ = (-1)⁷ ∙ = -(-2 - 2 - 4+ 2-8- 1) = 15,

₄₁ = (-1)⁵ ∙ = -(-2 - 1 – 12 +4 + 3 + 2) = 6,

₄₂ = (-1)⁶ ∙ = -4 – 18 + 1+6 + 6- 2 = -11,

₄₃ = (-1)⁷ ∙ = -(2 - 2 + 9 - 3-12 +1 ) = 5 ,

₄₄ = (-1)⁸ ∙ = 2- 4 +6 - 6- 8+ 1 = -9.

Полчили матрицу

( _ij ) = .

3) Находим присоединённую матрицу ( _ji )= ( _ij )^T:

( _ji ) = .

4) Получаем по формуле (2.2) обратную матрицу

А^-1 = = ∙ =

Тогда

Х = ∙ ∙ =

= = = = = .

Ответ: .

Рассмотрим второй способ получения обратной матрицы А^-1 .

Используется формула вида (9.9):

где Е – единичная матрица; А – заданная матрица; - обратная матрица.

С₁ С₂

С₂ := -2∙С₁ + С₂,

С₃ := -3∙С₁ + С₃, С₄ := С₁ + С₄,

С₄ С₂

С₁ := С₂ + С₁, С₃ := -5∙С₂ + С₃, С₄ := -3С₂ + С₄,

С₁ := 5С₃ + 22С₁, С₂ := 3∙С₃ + 22С₂,С₄ :=- 15∙С₃ +22∙ С₄,

С₁ :=- С₄ +41С₁, С₂ := -5∙С₄ + 41С₂,С₃ :=35∙С₄ +41∙ С₃

Разделив первую и вторую строки матрицы на 902, третью на -902.а четвертую на 41, получим

А^-1 = .

Варианты задания №2

Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и матричным способом.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

Задание №3

Решить систему линейных алгебраических уравнений

методом Гаусса;

Решение. Составим расширенную матрицу и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

С₂ С₁

С₂ := -2∙С₁ + С₂, С₃ := С₁ + С₃, С₄ := -С₁ + С₄

С₃ := -5С₂ + С₃, С₄ := -С₁ + С₄

Разделим третью строку на 14, а четвертую на 4

С₄ := -С₃ + С₄

Составим по полученной матрице систему уравнений

или либо .

Таким образом, имеем .

Обозначим t = С. Тогда система имеет множество решений :

. При С = 1 получим ФСР, т.е.

или .

Варианты задания №3

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Задание №4

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

Решение. Запишем характеристическое уравнение:

Определение2.11. Вектор Х ≠ 0 п-голинейного пространства ( т.е. имеет п координат) удовлетворяющий равенству , называется собственным вектором, а соответствующее ему число -собственным значением (характеристическим числом) матрицыА.

где А – матрица размером п×п , а -вектор-столбец, имеющий п координат. Используя единичную матрицу Е, соотношение можно записать в виде

(А- l Е ) × Х = 0 если перенести l Х в левую сторону.

(А- l Е ) × Х = 0 - это однородная линейная система уравнений (ОСЛУ). Она будет иметь не нулевое решение если определитель | (А- l Е ) | =0. Построим такой определитель для нашего примера

Вычисляя определитель по правилу: произведение элементов ,стоящих на главной диагонали минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали получим:

. Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим квадратное уравнение