Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Государственное профессиональное

Образовательное учреждение

«Енакиевский металлургический техникум»

ЕН.02 Компьютерное моделирование

Лекция № 16

Тема: Получение частотных характеристик в ИС LTI-Viewer.

Содержание

1. Понятие устойчивости и критерии устойчивости систем автоматического управления.

2. Критерий устойчивости по корням характеристического уравнения.

3. Частотный критерий устойчивости Найквиста.

4. Определение запасов устойчивости систем автоматического управления.

Контрольные вопросы.

Литература.

Вопросы для самостоятельного изучения.

Преподаватель _____________________________ Г.В. Лунина

Понятие устойчивости и критерии устойчивости систем автоматического управления.

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Это понятие хорошо описывается тремя простыми примерами (рис.1.1):

1. Шар, находящийся на вершине горки (рис. 1, а), является примером неустойчивой системы, так как при приложении к нему конечного возмущения (сторонней силы) он скатится с горки и в исходное положение не вернется.

2. Шар, находящийся во впадине, является примером устойчивой системы, так как при приложении к нему конечного возмущения он вернется в исходное положение (рис. 1, б).

3. Шар, находящийся на плоскости, является примером системы, находящейся на границе устойчивости, так как при приложении к нему конечного возмущения он остановится, но уже в другом положении (рис. 1, в).

Рисунок 1 – Пример, иллюстрирующий понятие устойчивости

Таким образом, если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. А если система устойчива, то переходный процесс в системе, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает, и система вновь возвращается в устойчивое состояние.

С целью упрощения анализа устойчивости систем разработан ряд специальных методов, которые получили название критериев устойчивости.

Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические и частотные. Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные – графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость в виде запасов устойчивости.

В пакете Simulink возможно автоматическое применение трех критериев устойчивости:

1) по корням характеристического уравнения системы;

2) частотные критерии устойчивости Найквиста;

3) критерий устойчивости Никольса.

В нашей стране применяются в основном первые два.

Критерий устойчивости по корням характеристического уравнения.

Решение дифференциального уравнения, описывающего систему автоматического управления, представляет собой сумму слагаемых, вид которых определяется значениями корней характеристического уравнения.

Если система представлена в виде передаточной функции, то для анализа устойчивости используется ее собственный оператор (знаменатель передаточной фикции).

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости.

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости, то есть, как было сказано выше, были отрицательными. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимой оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.

В пакете Simulink устойчивость системы по корням характеристического уравнения определяется с использованием пакета расширения LTI-Viewer путем нажатия правой кнопки на поле графика и выбора пункта контекстного меню Plot Type > Pole/Zero (рис. 2).

Для примера, изображенного на рис.1.2, система является устойчивой, так как имеет единственную пару сопряженных корней с отрицательной вещественной составляющей (лежат левее мнимой оси).

Рисунок 2- Определение устойчивости САУ по корням характеристического уравнения

Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет оценить устойчивость замкнутой системы автоматического управления по амплитудно-фазовой или логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы автоматического управления, если известно, что разомкнутая система является устойчивой.

При этом определение устойчивости системы автоматического управления по амплитудно-фазовой частотной характеристике существенно отличается от определения устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Поэтому существуют два отдельных определения частотного критерия устойчивости Найквиста: для амплитудно-фазовой и логарифмической частотной характеристик.

Для амплитудно-фазовой частотной характеристики это определение звучит следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы, при изменении частоты от 0 до ∞, не охватывала точку с координатами (−1, j0).

Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами (−1, j0), то система находится на границе устойчивости.

Для логарифмических частотных характеристик это определение имеет другой вид: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛАХ разомкнутой системы пересекла ось абсцисс раньше, чем ЛФХ, спадая окончательно, перешла за значение −π (−180º).

Точка, в которой ЛАХ пересекает ось абсцисс, называется частотой среза и обозначается ω_с.

Точка, в которой ЛФХ пересекает значение −π (−180º) спадая окончательно, называется частотой фазового сдвига и обозначается ω_л.

Для вышепринятых обозначений условия устойчивости по критерию Найквиста для ЛЧХ выглядят следующим образом:

1) если ω_с < ω_л, то система является устойчивой;

2) если ω_с > ω_л, то система является неустойчивой;

3) если ω_с = ω_л, то система находится на границе устойчивости.

В пакете Simulink для определения устойчивости системы с наличием обратной связи (замкнутой системы) по критерию Найквиста необходимо разомкнуть цепь обратной связи, то есть превратить систему в разомкнутую. Для этого нужно удалить одну из соединительных линий в цепи обратной связи и переставить точку выхода (для пакета LTI Viewer). На рис. 3 в качестве примера приведена структурная схема замкнутой системы стабилизации угловой скорости турбогенератора, а на рис. 4 – структурная схема этой же системы, но в разомкнутом виде.

Рисунок 3 – Пример замкнутой системы

Рисунок 4 – Пример разомкнутой системы

В пакете Simulink устойчивость системы по критерию Найквиста определяется с использованием пакета расширения LTI Viewer с помощью нажатия правой кнопки на поле графика и выбора из контекстного меню:

1) для АФЧХ: Plot Type > Nyquist (рис. 5);

2) для ЛЧХ: Plot Type > Bode (рис. 6).

Рисунок 5 – Определение устойчивости САУ по АФЧХ

Рисунок 6 – Определение устойчивости САУ по ЛЧХ

Из рис. 5 видно, что АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (−1, j0) (обозначена на графике красным крестиком), следовательно, замкнутая система стабилизации угловой скорости турбогенератора, структурная схема которой приведена на рис. 3 и 4, является устойчивой. Такой же вывод можно сделать из анализа ЛЧХ (см. рис. 6), так как ЛАХ пересекает ось абсцисс раньше, чем ЛФХ, окончательно спадая, переходит за значение −π (−180º). Для данной системы ω_с = 1,2 рад/с, а ω_л = 1,39 рад/с, то есть ω_с < ω_л и, следовательно, система устойчива.

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 23; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!