Принцип сжатой переменной или принцип двух полицейских.
Если , причём . Тогда существует .
Неравенство Бернулли (1)
Докажем методом математической индукции.
1. База индукции. При n =1 имеем равенство. Неинтересно
Неравенство Бернулли верно при n =2.
2. Индукционное предположение. Предположим, что неравенство (1) верно при n = k , то есть
3. Докажем справедливость неравенства (1) при n = k +1.
Лч( k +1)= чтд.
Число е
е≈ 2,7182818284 е≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50
Утверждение. Рассмотрим последовательность
Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху.
Доказательство. Докажем монотонность, то есть, что последующий член больше предыдущего.
Итак х n +1 > xn , то есть последовательность монотонно возрастает.
Докажем ,что последовательность ограничена сверху
Так как последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то существует её предел, который назвали числом е, то есть
=е≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 50
Также Это уже предел функции. Сделаем замену .Получаем
Вычислим
Предел функции. Определение предела по Коши и Гейне Пусть функция f(x) определена на некотором открытом интервале X, содержащем точку x=a. (При этом не требуется, чтобы значение f(a) было обязательно определено.) Число A называется пределом функции f(x) при x→a предел функции обозначают так = А, если для каждого ε>0 существует такое число δ>0, что при условии0<|x−a|<δ следует |f(x)−A|<ε. Данное определение предела известно как ε−δ− определение или определение по Коши Коши. Существует также определение предела функции по Гейне, согласно которому функция f(x) имеет предел A в точке x=a, если для каждой последовательности {xn}, сходящейся к точке a, последовательность f(xn) сходится к A. Определения предела функции по Коши и Гейне эквивалентны. Число A называют пределом функции f (x) при x, стремящемся к числу a, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ , что при всех , удовлетворяющих неравенству| x – a | < δ ,будет выполняться неравенство| f (x) – A | < ε . Предел функции обозначают так |
Односторонние пределы
|
|
Символом обозначается левосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает
значения x<a. Соответствующий предел называется
левосторонним пределом функции f(x) в точке x=a.
Аналогично, символом обозначается правосторонний предел, в котором переменная x, приближаясь к a, принимает значения x>a. Соответствующий предел называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x=a.
|
|
Отметим, что двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу,
Свойства пределов функций
Если у функций f (x) и g (x) при x , стремящемся к a , существуют
пределы
и ,
где A и B – некоторые числа, то при x , стремящемся к a , существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих функций, причем
Если, кроме того, выполнено условие
то при x , стремящемся к a , существует предел дроби
причем
Для любой непрерывной функции F (x) справедливо равенство
Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 69; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!