Предел последовательности – основные теоремы и свойства

Определение Последовательность – это функция натурального аргумента.

Числовая последовательность {x_n}– это закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу ставится в соответствие число.

 

Далее мы будем считать, что членами последовательности являются действительные числа.

Определение предела последовательности

Число a называется пределом последовательности x_n , если для любого положительного числа ε>0 существует такое натуральное число N, зависящее от ε, что для всех натуральных n>N выполняется неравенство | x_n – a |< ε,

или a- ε < x_{n <} a+ ε или начиная с некоторого номера все члены последовательности принадлежат ε окрестности точки a O_ε(a)

                                x_n

                                                                                                                                                                         

.             a - ε a a + ε

 

Предел последовательности обозначается так:

 

Последовательность называется ограниченной,

 

если существует такое число M, что для всех натуральных n.

 | X_n | M

Точной Верхней гранью (границей) последовательности

 

называют наименьшее из чисел, ограничивающих последовательность сверху. То есть это такое число S, для которого для всех n и для любого ε>0 , найдется такой член последовательности что >S-ε. Обозначается точная ерхняя грань sup { x_n }. Точная нижняя грань inf { x_n }.

 

Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности

 

Утверждение 1 Любая монотонная ограниченная последовательность x_n имеет конечный предел. Он равен точной верхней границе для нестрого возрастающей последовательности и точной нижней для нестрого убывающей.

 

Замечание 1 Теорема Вейерштрасса устанавливает пределы монотонных ограниченных последовательностей, но не содержит способов нахождения пределов.

 

Бесконечно малые последовательности.

Деление.

Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю. Последовательность Yn называется бесконечно большой, если | Yn| стремится к +∞

Бесконечно малые последовательности обладают следующими свойствами:

1. 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

2. 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

Замечание.

3. Так как бесконечно малая последовательность ограничена, то из последнего свойства следует, что произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

В дальнейшем под пределом последовательности будем понимать конечный предел, если не оговорено противное.

---

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 24; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!