Вариант 9 – нормальное (или гауссовское распределение)

Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

MX = а ,

DX =

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX » , DX » s² , что позволяет найти значения параметров распределения.

По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

x = а, 12,11=а, а=12,11,

s²= 12,22= σ=3,5

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

F(x)= [1/(7.54*√2π)]*e^[-(x-12.11)^2/2*(3.5)^2)]=0.053*e^(24,5/((x-12,11)^2))

Теперь необходимо вычислить значения f(x_i) плотности f (x) при x=x_i (в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:

значения фунцкии

при u=u_i находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.

x _i		Φ (u _i )
2.2 4.2 6.2 8.2 10.2 12.2 14.2 16.2 18.2 20.2 22.2	-2.83 -2.26 -1.69 -1.12 -0.55 0.03 0.60 1.17 1.74 2.31 2.88	0,4977 0,4881 0,4545 0,3686 0,2088 0,0120 0,2257 0,3790 0,4591 0,4896 0,4980	0,1422 0,1395 0,1299 0,1053 0,0597 0,0034 0,0645 0,1083 0,1312 0,1399 0,1423

Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (x_i ; f(x_i)) и соединяем их плавной кривой.

Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1) Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.

2) Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.

Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация чего-либо.

Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c² («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.

Группировка исходных данных.

Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через n_Iколичество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ån_I = n.

Отметим, что критерий c² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1) количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;

2) в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. n_i ³5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.

Пусть концами построенного разбиения являются точки z_i , где z₁ < z₂ < … < z_i_{– 1} , т.е. само разбиение имеет вид

(- ¥ º z₀; z₁) , [ z₁; z₂) , [ z₂; z₃) , … , [ z_i_{– 1}; z_i º + ¥).

После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - ¥, а самой правой на + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:

z_{i –1}; z_i	- ¥; 3,2	3,2;5,2	5,2;7,2	7,2;9,2	9,2;11,2	11,2;13,2
n _i	5	9	16	23	25	30

13,2;15,2	15,2;17,2	17,2;19,2	19,2;21,2	21,2;+∞
22	20	16	8	6

Дата добавления: 2021-11-30; просмотров: 21; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!