II. Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение y" + p · y' + q · y = 0 , (2)

где p и q - постоянные, называется однородным линейным уравнением второго порядка.

Вид общего решения y₀ однородного линейного уравнения второго порядка зависит от корней k₁, k₂ характеристического уравнения:

(3)

1. Если k₁, k₂ - действительные числа, причем k₁ ≠ k₂ , то общее решение имеет вид:

2. Если k₁, k₂ - действительные числа, причем k₁ = k₂ , то общее решение примет вид:

3. Если k₁, k₂ - комплексные числа, , то общее решение имеет вид:

III. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y" + py' + qy = f(x) (4)

Общим решением уравнения (4) является сумма общего решения y_о однородного уравнения и частного решения y_* данного уравнения, т.е. y = y_о+ y_* .

Частное решение у_* неоднородного уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов. Рассмотрим два случая.

I случай. Если правая часть f(x) уравнения представляет собой произведение e^{α · x}P_n(x) , где α - число, P_n(x) - многочлен степени n .

1. Если число α не является корнем характеристического уравнения k² + pk + q = 0 , тогда

2. Если число α - однократный корень характеристического уравнения k² + pk + q = 0 , тогда

3. Если число α - двукратный корень характеристического уравнения k² + pk + q = 0 , тогда

II случай. Пусть f(x) имеет вид:

где P(x), R(x) - многочлены.

Пусть n - наибольшая степень этих многочленов. Частное решение y_* находится подбором неопределенных коэффициентов многочленов U_n(x), V_n (x) степени n :
1) если числа a ± ib не являются корнями характеристического уравнения k² + pk + q = 0 , тогда

2) если числа a ± ib - корни характеристического уравнения k² + pk + q = 0 , тогда

Выбрав вид частного решения y_* , соответствующий правой части f(x) дифференциального уравнения, находим y_*^', y_*^"

Подставив найденные для y_* , y_*^' , y_*^" выражения в исходное линейное уравнение второго порядка, определяем неизвестные коэффициенты многочлена , или многочленов U(x) и V(x) .