Вычисление площадей плоских фигур
В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области D: a ≤ x ≤ b, φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x), равна
Вычисление объемов
Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y), где f(x,y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x,y) по области D:
.
Практическая часть-
Пример 1. Вычислите повторный интеграл 
.
Решение. Решим сначала внутренний интеграл по переменной у, считая х постоянным:
..
Теперь вычислим внешний интеграл по переменой х:
.
Ответ: 8.
Пример 2. Вычислите повторный интеграл 
Решение. Найдем внутренний интеграл:
Найдем внешний интеграл:
.
Ответ: 
.
Пример 3. Вычислите двойной интеграл 
по области, ограниченной линиями: х=1, х=4, у=1, у=е.
Областью D является прямоугольник изображенный на рис.5.
Воспользуемся формулой (3):
Ответ: 7,5
рис. 5
Пример 4. Вычислите двойной интеграл 
по области, ограниченной линиями: х=0, у=х, у=6-х2.
Решение. Изобразим область D на плоскости Оху.
Рис.6
Как видно из рисунка область D является простой как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. Мы можем воспользоваться формулой (1) или (2).
|
|
|
,
Ответ: 
.
Практические задания
1 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1.  ;
2. 
3.  ,
D:  ,
4.  ,
D:. 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х2 и у=4х-3.
| 2 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1.  ;
2.  ;
3.  ,
D:  
4.  ;
D:
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х2 и у=2х+3.
|
3 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1.  ;
2. 
3. 
D:  ,
4.  ,
D:  
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х2-4х+5 и х-у+5=0.
| 4 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1.  ;
2.  ;
3. 
D: 
4.  ;
D:
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х2-8х+16 и х+у-6=0.
|
5 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1. 
2. 
3. 
D: , 
4.  ;
D: , 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=х2-6х+9 и у=3х-9.
| 6 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1. 
2. 
3. 
D: ,
4.  ;
D: 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=-х2+6х-5 и у=0.
|
7 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1. 
2. 
3. 
D:, 
4.  ;
D: 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=sinx, y=0, 
| 8 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1. 
2. 
3.
D: , 
4.  ;
D: 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
|
9 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1. 
2. 
3. 
D: ,
4. ;
D:
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=1+cosx, y=1, .
| 10 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1. 
2. 
3. 
D: ,
4.  ;
D:
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=x3, y=-x2+2,x=0.
|
11 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1. 
2. 
3. 
D: ;
4.  ;
D:
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=3x3, y=2x+1|, x=0.
| 12 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1. 
2. 
3. 
D: ; 
4.  ;
D:; 
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=x2, x=0,y=2-x.
|
13 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1.  ;
2.  ;
3.  ;
D: .
4.  ;
D:
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
x-3y+2=0,  .
| 14 вариант
Вычислить интегралы 1-4
1.  ;
2.  ;
3.  ;
D: .
4. ;
D:  ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
у=-x, x2+2x=0.
|
Контрольные вопросы
|
|
|
Что называется двойным интегралом?
Дата добавления: 2018-02-18; просмотров: 566; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!