Постановка задачи. Методы решения оптимизационных задач.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 21Следующая ⇒

В данном случае в критерии оптимальности присутствует только одна варьируемая переменная. На нее могут быть наложены только автономные ограничения и постановка задачи принимает вид:

(2.1)

(2.2)

В соответствии с теоремой Вейерштрассе всякая функция , непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве ( ), достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. Функция выпукла на , если она имеет на этом множестве единственный максимум. Выпуклая функция обладает тем свойством, что, если через две любые принадлежащие ей точки провести прямую (с координатами и ), то любая промежуточная точка этой прямой не будет превышать значение функции при том же Х (рис.2.1). Для выпуклой функции справедливо выражение:

, где

Если функция не выпукла (неунимодальна), то она будет иметь несколько точек максимума, причем значение функции в этих точках будет различным (рис. 2.2)

В этом случае точка, соответствующая наибольшему значению функции (точка на рисунке) называется точкой глобального максимума, а остальные точки ( , , , ) – локальными максимумами функции.

Рис.2.1

Все методы решения оптимизационных задач, в том числе методы определения максимума функции одной переменной делятся на:

1. Аналитические, основанные на необходимых или достаточных условиях оптимальности, причем достаточные условия применяются только в случае сложноорганизованных областей допустимых значений D.

2. Численные, которые представляют собой вычислительную процедуру, обеспечивающую последовательное уточнение решения от некоторого начального приближения до максимума с заданной допустимой погрешностью.

Аналитический метод решения задачи. Условия максимума функции одной переменной.

Пусть - непрерывная и дважды дифференцируемая функция при и X⁰ - точка предполагаемого маусимума функции. Для того, чтобы при X⁰функция достигала max необходимо, чтобы при любом другом Х, сколь угодно близком к X⁰, т.е. , выполнялось соотношение (2.3)

Разложим в ряд Тейлора в окрестности точки X⁰

(2.4)

При небольших DХ, членами, содержащими приращения в степени больше единицы можно пренебречь и тогда из (2.4) следует:

. (2.5)

Подставляя (2.5) в (2.3) окончательно получаем необходимое условие максимума функции одной переменной:

(2.6)

При использовании этого условия могут возникнуть два варианта:

1. - внутренняя точка интервала допустимых значений (рис. 2.3). В этом случае знак DХ не определен и для выполнения условия (2.6) необходимо

(2.7)

При этом знак разности (2.3) определяется знаком первого отброшенного члена ряда Тейлора, т.е. знаком . Поэтому необходимое условие max (2.7) дополняется условием

(2.8)

2. - граничная точка интервала . В этом случае знак DХ определен (рис. 2.4) и для расчетов будем использовать выражение (2.6).

Рис.2.3. Х_* Х^* Х

Рис. 2.4.

Сформулируем правила применения необходимых условий максимума функции одной переменной.

1. Определяют все корни уравнения (2.7), являющиеся внутренними точками отрезка и для каждого из них проверяют условие (2.8). Удовлетворяющие ему корни являются точками локальных максимумов целевой функции.

2. Рассчитывают значение функции в этих точках и сравнив их между собой определяют глобальный максимум.

3. Если среди корней уравнения (2.7), нет значений, принадлежащих множеству допустимых решений, необходимо проверить граничные точки и с использованием условия (2.6).