Запишем уравнения цепи в соответствии с законами Кирхгофа 4 страница

R+jwL=R+jX_L=Ze^jj, 

где                        

    При                      f₁=0       wL=X_L=0

 и модуль сопротивления  Z₁=U₁/I₁=R; R=100/1=100 Ом.

    При f₂=500 Гц

    При f₃=1000 Гц 

 

    Показание амперметра I₃=U₃/Z₃=100/358=0,28 A.

 

    П р и м е р 2.9. В цепи (рис. 2. 12) измерены ток I=2 A, напряжения на входе U_ac=100 B, на катушке U_ab=173 B, на конденсаторе U_bc=100 B. Построить векторную диаграмму напряжений и определить полное сопротивление катушки.

    Р е ш е н и е. Отложим произвольно вектор тока  (рис. 2.13). Вектор напряжения на емкости  отстает от вектора тока на 90°.

Положение вектора  определим из условия  с помощью засечек при построении двух окружностей радиусами R₁=U_ab и R₂=U_ac,   проведенными из конца  и  начала вектора .

    По теореме косинусов найдем

 

откуда a=30°, j=60°.    Тогда  В.

Полное сопротивление катушки

Z= =173e^j60°/2=(32,3+j75) Ом,

R=32,3 Ом, wL=75 Ом.

        

П р и м е р 2.10. В последовательной резонансной цепи R=2 Ом; С=100 мкФ; L=40 мГн. Определить резонансную частоту w₀, добротность контура, полосу пропускания и зависимость полосы пропускания от добротности контура. Построить резонансную кривую I/I_max=f(n) в относительных единицах, где n=w/w₀.

Р е ш е н и е. Резонансная частота контура

.

Добротность контура Q=w₀L/R=10.

    Резонансная кривая может быть построена по уравнению

                             (1)

 

где w/w₀=n, или в относительных единицах – по уравнению (рис. 2.14):                                                  (2)

    По определению полосы пропускания из уравнения (2) имеем

Отсюда n₁n₂=1, или w₀= ,

где w₁ и w₂ – граничные частоты полосы пропускания,

    Решая совместно последние уравнения, найдем

        

П р и м е р 2.11. Потери в обмотке катушки на частоте f составляют 10 Вт при напряжении 100 В и токе 1 А. Определить добротность катушки для данной частоты и параметры последовательной схемы замещения.

    Р е ш е н и е. Добротность катушки

 

    П р и м е р 2.12. Определить параметры схемы замещения пассивного двухполюсника при замене его последовательно включен ными активным и реактивным сопротивлениями. Показания приборов, включенных по схеме (рис. 2.15): U=80 B; P=102 Вт; I=1,6 A.

    Учесть, что при включении небольшой емкости параллельно входным зажимам двухполюсника показание амперметра уменьшается.

    Р е ш е н и е. Параметры схемы замещения двухполюсника при последовательном включении активного и реактивного сопротивлений определим по показаниям приборов на основании следующих зависимостей:

 

P=UIcosj, откуда cosj=P/UI=102/80×1,6=0,8; Z=U/I; R=Zcosj;

X=Zsinj= Z=80/1,6=50 Ом; R=40 Ом; Х=30 Ом.

    Характер реактивного сопротивления уточним по знаку угла j из векторной диаграммы (рис. 2.16),

где  – два возможных положения вектора тока относительно напряжения на входе цепи , соответствующие емкостной ( ) и индуктивной ( ) нагрузкам

 

 

    Известно, что при включении небольшой емкости ток на входе цепи уменьшается. Это соответствует индуктивному характеру нагрузки, то есть угол j>0.

В этом случае двухполюсник может быть заменен последовательно включенными сопротивлениями:

 

Z=R+jX=(40+j30) Ом.

 

 

З а д а ч и

6. На рисунке показана часть электрической цепи, для которой

 Z₁=2 Ом;  Z₂=1,8e^–j44° Ом. Определить показание ваттметра.

 

7. При резонансе ток в цепи равен 0,1 А при напряжении на входе 12 В. Добротность контура Q=3. Определить напряжение на всех элементах и ток в цепи при w=2w₀ и том же значении напряжения.

8. С помощью топографической и векторной диаграмм определить в приведенной цепи токи I₁, I₂, если ток I₃=1 A. Значения сопротивлений в омах указаны на схеме.

 

 

9. В цепи измерены все токи и напряжения: I₁=I₂=I₃=2 A; U_AB=U_BC=100 B; U_AC=141 B. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму, приняв j=0. Определить Z₁, Z₂, Z₃ и Z_вх.

10. Определить резонансную частоту цепи, состоящей из параллельно включенных конденсатора емкостью 100 мкФ, катушки с индуктивностью 40 мГн и активным сопротивлением 10 Ом. Построить векторную диаграмму токов при U=46 B.

 

    П р и м е р 2.13. На рис. 2.17 показана схема соединения и намотка катушек, имеющих общий сердечник. Определить одноименные зажимы катушек. Привести электрическую схему цепи с учетом взаимной индуктивности. Вывести выражение для входного сопротивления цепи, если известны параметры катушек R₁, I₁, R₂, I₂ и взаимная индуктивность М.  Составить эквивалентную схему замещения данной цепи без магнитных связей.

    Р е ш е н и е. Одноименными зажимами катушек являются зажимы 1 и 2, так как магнитные потоки создаваемые ими, совпадают по направлению.

Схема цепи приведена на рис. 2.18.

 Входное сопротивление магнитносвязанной цепи

.

Запишем уравнения цепи в соответствии с законами Кирхгофа

    Совместное решение уравнений относительно тока  дает

 

 

    Подставим значение тока  из уравнения (1) в уравнение (2) и тока  из уравнения (1) в уравнение (3), найдем

 

Этим уравнениям соответствует схема, представленная на рис. 2.19

 

    П р и м е р 2.14. На рис. 2.20 изображена схема, в которой к выходным зажимам трансформатора, имеющего параметры: R₁=2,3 Ом, Х₁=8 Ом, Х₂=10 Ом, Х_М=8 Ом, присоединена нагрузка Z. Определить сопротивление нагрузки, исходя из условия выделения в ней максимальной активной мощности.

Рассчитать токи трансформатора, построить векторную диаграмму, составить баланс активной мощности и схему замещения трансформатора без магнитной связи при U₁=100 B.

    Р е ш е н и е. Выделим ветвь mn с сопротивлением Z­, а остальную часть схемы будем рассматривать как активный двухполюсник. Если обозначить входное сопротивление двухполюсника со стороны входных зажимов через Z_2вх, то максимально возможная активная мощность от двухполюсника нагрузке передается при условии, что активные составляющие сопротивления Z и Z_2вх равны, а реактивные составляющие сопротивления равны по модулю, но противоположны по знаку, то есть  

Z = R+jX; Z_2вх= R_2вх – jX_2вх; R = R_2вх; Х = –Х_2вх или Z= .

 

Значение Z_2вх определим по пассивной схеме двухполюсника (U₁=0) при  

По законам Кирхгофа

 

 

 

    При совместном решении этих уравнений получим

 

 

    Таким образом, сопротивление нагрузки равно сопряженному комплексу входного сопротивления:

 

    Токи в обмотках трансформатора найдем, совместно решая уравнения:        

 

Определим баланс активной мощности, получаемой из сети:

P=U₁I₁cosj₁=100×21,73=2173 Вт.

Мощность, поглощаемая в первичной цепи

P₁=I₁²R₁=21,9²×2,3=1086 Вт.

Мощность, поглощаемая во вторичной цепи:

P₂=I₂²R₂=22,8²×2,12=1085 Вт.

При этом Р»Р₁+Р₂ (неполное совпадение мощностей обусловлено округлением результатов при вычислении токов).

    Мощность, потребляемая во вторичной цепи, передается из первичной благодаря явлению взаимоиндукции и может быть определена как P₂=U_MI₂cos( )=1085 Вт, где

    Векторная диаграмма трансформатора приведена на рис. 2.21. Составим схему замещения трансформатора без магнитной связи (выполним так называемую развязку индуктивно связанных цепей).

Прибавим к уравнениям (1), (2) соответственно +jX_M  и +jX_M . Тогда уравнения примут

вид

    Уравнениям (3) и (4) соответствует схема (рис. 2.22), в которой токи  и  рассматриваются как контурные. Используя эту схему замещения трансформатора, можно определить входное сопротивление двухполюсника со стороны выходных зажимов (т. е. выполнить первый пункт задания) иначе

.

 

    П р и м е р 2.15. В цепи  (рис. 2.23) ЭДС E=50 B; сопротивления Х_С=35 Ом; Х_L1=20 Ом; Х_L2=60 Ом; Х_М=10 Ом; R=20 Ом. Определить комплексы токов в ветвях с помощью непосредственного применения законов Кирхгофа.

    Р е ш е н и е. В цепи имеются два узла и три ветви, поэтому по первому закону Кирхгофа составляется одно уравнение, а по второму – два.

    Примем положительное направление токов в ветвях, как показано на рис.2.23.

Тогда катушки L₁ и L₂ окажутся включенными встречно (ток  втекает в начало L₁, а ток  – в конец L₂).

    По первому закону Кирхгофа для узла b

    Остальные два уравнения составим для двух независимых контуров из имеющихся трех. Обход контуров выберем по часовой стрелке. Тогда система уравнений будет

где  – падение напряжения на конденсаторе;

      – составляющая падения напряжения на катушке индуктивности L₁, обусловленного собственной индуктивностью катушки L₁ и протекающим в ней током ;

      – составляющая падения напряжения на катушке индуктивности L₂, обусловленного собственной индуктивностью катушки L₂ и протекающим в ней током ;

     – составляющая падения напряжения на катушке индуктивности L₂, обусловленного взаимной индуктивностью катушек L₁ и L₂ и протекающим в катушке L₁ током I₁; взят знак минус, так как катушки L₁ и L₂ включены встречно.

     – составляющая падения напряжения на катушке индуктивности L₁, обусловленного взаимной индуктивностью катушек L₁ и L₂ и протекающим в катушке L₂ током ; взят знак минус, так как наблюдается встречное включение катушек L₁ и L₂.

Слагаемые уравнения (3):

 – аналогично уравнению (2); взят знак минус, так как ток  направлен против обхода контура;

 – аналогично уравнению (2); взят знак плюс, так как составляющая напряжения на L₂, обусловленного взаимной индуктивностью катушек L₁ и L₂, должна быть обратна составляющей падения напряжения на L₂, обусловленной собственной индукцией (так как встречное включение L₁ и L₂); или положительный знак возникает из формальной записи уравнения   

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 1635; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!