ДУ-n, допускающие понижение порядка

1⁰ y⁽ⁿ⁾=f(x)

- ДУ-1 относительно y^(n-1), с разделяющимися переменными

d(y^(n-1))=f(x)dx

∫d(y^(n-1))=∫f(x)dx+C

y^(n-1)=∫f(x)dx+C

снова понижаем порядок

- ДУ-1 с разделяющимися переменными

∫d(y^(n-2))=∫(∫f(x)dx+C₁)dx+C₂

y^(n-2)=∫(∫f(x)dx)dx+xC₁+C₂

 и т.д.

2⁰ F(x, y^(k), y^(k+1),…, y⁽ⁿ⁾)=0 (1)

Нет явно    k=1,2,…,n

k=n случай 1⁰ y⁽ⁿ⁾=f(x)

(2)

,…,     (3)

(2) и (3) в (1):

ДУ-(n-k) (4)

Замечание: вопрос о решении (4) остался открытым; хорошо, если оно сводится к известным ДУ.

3⁰ (5)

Нет явно «х»

Можно понизить порядок на единицу

(6)

= =

(7)

(8)

(9)

(6)-(9) в (5):

(10)

Решение (10)

P=f(y,C₁,C₂,…,C_n-1) – общее решение (10)

=f(y,C₁,C₂,…,C_n-1) – ДУ-1с разделяющимися переменными

- общий интеграл ДУ (5)

 

Линейные ДУ высшего порядка(ДУ-n): однородные, неоднородные. Однородные ДУ-n: доказать теоремы о свойствах решений, понятие фундаментальной системы ЛОДУ-n. Доказать теорему о структуре общего решения ЛОДУ-n.

(1)

Если при всех рассматриваемых значениях x ф-я то уравнение (1) наз-ся линейным однородным, в противном сл-е он наз-ся лин-но неоднородным.

Введем оператор:  (2)

С помощью оператора (2) ур-е (1) примет вид:

ЛОДУ-(n) Свойства решений

Т₁  Если - решения, то - тоже решения

Д-во:

     Тогда:

Т₂ Если - решение, то -тоже решение, где

Д-во: , тогда

    

Понятие ФС ЛОДУ-(n)

Т   опред. на  были лин-но незав-мы, необходимо и достаточно чтобы Вронскиан  хотя бы в одной точке на

ТЕсли Вронскиан  в точке , то он не равен о ни в одной точке

Оn - лин-но незав-х решений ЛОДУ-(n) наз-ся фундаментальной системой решений (ФСР)

Т о структуре общего решения ОЛДУ-(n)

Если  – ФСР ОЛДУ-(n)

, то общ. Решение ОЛДУ-(n) имеет вид:

 , (2)

Д-во: имеем

А) Тогда

Б) Покажем, что задача Коши имеет единственное решение:

 (3)

(2) в (3): (4)

(4) – система лин-х неодн-х алгебр-х ур-й. Она имеет единственное решение, если опред-ль системы не равен 0.

Значит (4) – единственное решение

Подставляя найденное значение в (2) получаем решение задачи коши. Теор. Доказана

Вопрос.

П-ОЛДУ с постоянными коэффициентами

L(y)=yⁿ+a₁y^n-1+…+a_n-1y’+a_ny=0 (11)

a₁,a_2,…,a_n-const

Метод Эйлера: ищем решение в виде y=e^λx λ-const (12)

y’=λe^λx,y”=λ²e^λx…yⁿ=λⁿe^λx (13)

(12) и (13) в (11)

L(e^λx)= λⁿe^λx+a₁ λ^n-1e^λx+…+a_n e^λx

L(e^λx)= (λⁿ+a₁ λ^n-1+a₂ λ^n-2+…+a_n) e^λx

L(e^λx)=P(λ) e^λx≡0 (14)

e^λx≠0 xϵ(-∞;∞)

Из (14) следует P( λ)≡λⁿ+a₁ λ^n-1+…a_n=0 (15)

Характеристическое уравнение(ху)

Задача. Интегрирование диф. уравнения свелось в

Случаи:

1. ХУ(15) имеет n различных вещественных корней

n решений λ₁, λ₂,.., λ_n y₁= e^λ1x,y₂= e^λ2x,…,y_n= e^λx(16)

 

W(e^λ1X,…, e^λnX)= e^λ1X e^λ2X … e^λnX

                                         λ₁ e^λ1X x₂ e^λ2X… λ_n e^λnX

                         ………………………

                         λ₁^n-1 e^λ1X … λ_n^n-1 e^λnX

 

= e^λ1X* e^λ2X*… e^λnX * I I …. I

                               λ₁    λ₂  …. λn ≠0 xϵ(-∞;∞)

                               λ₁^n-1 λ₂^n-1… λ_n^n-1  

определитель Вандер Монда т.е (16)-ФСР

Тогда y_оо=с₁y₁+ с₂y₂+…+ с_ny_n= c₁e^λ1X + c₂ e^λ2X+…+ c_n e^λnX (17)

2. Среди корней XУ имеется комплексный корень λ₁=α+iβ

Тогда имеется обязательно сопряжённый корень λ₂=α+iβ

y₁₌ e^α+iβ)x=e^αx(cosβx+isinβx)= e^αxcosβx+ ie^αxsinβx=u(x)+iv(x)=y₁(c волнистой чертой) y₂(c волн.ч)= e^α-iβ=e^αxcosβx-ie^αxsinβx= u(x)+iv(x)

Теорема о комплексном решении ДУ

Пусть y=u+iv – комплексное решение ДУ. Тогда L(y)≡0 следовательно L(u)+iL(v)=0 следовательно

т.е u(x) и v(x)-действительное решение ДУ.

Вывод: двум комплексным сопряжённым корням λ_1,2=α+iβ характеристического уравнения P(λ)=0 соответствует вещественное решение y₁= e^αxcosβx,y₂= e^αxsinβx

3. Среди корней ХУ корень λ₁ кратности “к”

XУ P(λ)=(λ-λ₁)^kQ_n-k(λ)=0 (18)

P’(λ)=k(λ- λ₁)^k-1 Q(λ)+ (λ- λ₁)^kQ’(λ)

P’’(λ)= k(k-1)(λ-λ₁)^k-2Q(λ)+2k(λ-λ₁)^k-1Q’(λ)+ (λ-λ₁)^kQ’’(λ)

……………………………………………………………..    (19)

P^{(k) (}λ)=k(k-1)…2*1Q(λ)+…+ (λ-λ₁)^kQ^k(λ)

Если λ₁-корень ХУ(18), то (Q(λ₁)≠0)

P(λ₁)≡0 P’(λ₁)=0,P’’(λ₁)=0…,P^k-1(λ₁),но P^k(λ₁)=k’Q(λ₁)≠0

Ранее имеем L(e^λx)=P(λ) e^λx=0 (20)

Продифференцируем соотношение (20) по λ:

(L(e^λx))’_λ=(P(λ) e^λx)’_λ   ;(e^λx)’=P’(λ) e^λx+P(λ)x e^λx

L(x e^λx)=P’(λ) e^λx+P(λ)x e^λx

Ещё раз дифференцируем по λ k-2 раз

L(x² e^λx)=P’’(λ) e^λx+2P’(λ)x e^λx+P(λ) e^λxx²      (21)

Если в соотношении (21) подставим λ₁-корень ХУ,то будем иметь

L(x e^λx)=P’(λ₁) e^λ1x+P(λ₁)x e^λ1x=см 19=0 L(x e^λ1x)≡0 следовательно x e^λ1x тоже решение ОЛДУ-n. L(x² e^λ1x)=см 19=0+0+0=0 следовательно x² e^λ1x-тоже решение ОЛДУ-n. L(x^k-1 e^λ1x)=0+0+…+0=0 следовательно x^k-1 e^λ1x тоже решение ОЛДУ-n. Вывод: Если λ₁-как кратный корень ХУ, то ему соответствует ,,к,, решений:

 y₁= e^λ1x,y₂=x e^λ1x,y₃=x² e^λ1x,…,y_k=x^k-1 e^λ1x –входят в ФСР как лин. независимые

4. Среди корней ХУ имеются почленно сопряжённые как кратные корни λ_1,2=α+iβк р “ к” Всего 2к корней. Следует 2 кратным корнем имеет два вещественные решения y₁= e^αxcosβx,y₂= e^αxsinβx

В силу кратности y₃=x e^αxcosβx,…,y_2k-1=x^k-1 e^αxcosβx

                           y₄=x e^αxsinβx,…, y_2k=x^k-1 e^αxsinβx

---

Дата добавления: 2018-02-15; просмотров: 398; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!